Contoh Soal

Pembahasan:

Kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah

a. Berpotongan.

Suatu garis dikatakan berpotongan dengan sebuah bidang jika terdapat tepat satu titik persekutuan.

Berikut ilustrasinya

b. Berpotongan tegak lurus.

Suatu garis dikatakan berpotongan tegak lurus dengan sebuah bidang jika terdapat tepat satu titik persekutuan dan garis tersebut tegak lurus terhadap bidang.

Berikut ilustrasinya

c. Sejajar.

Suatu garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika tidak memiliki titik persekutuan.

Berikut ilustrasinya.

d. Berimpit.

Suatu garis dikatakan berimpit dengan sebuah bidang jika garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang tersebut.

Berikut ilustrasinya.

Jadi, yang bukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang adalah lurus.

Pembahasan:

Diketahui:

$AB\ =\ BC\ =\ 6\sqrt{2}$ cm

$t\ =\ 8$ cm

Ditanya:

Jarak garis $AD$ dengan garis $BC$

DIjawab:

Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.

Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan bahwa jarak garis $AD$ dengan garis $BC$ sama dengan panjang ruas garis $AB$ sebab garis $AB$ tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.

Dengan demikian jarak garis $AD$ dengan garis $BC$ adalah $6\sqrt{2}$ cm.

Pembahasan:

Perhatikan gambar balok berikut.

Perhatikan bahwa garis $BC$ sejajar dengan garis $AD$ dan garis $AD\$berada di bidang $ADHE$, sehingga $BC$ sejajar dengan bidang $ADHE$.

Pembahasan:

Dua buah garis dikatakan sejajar jika terletak pada suatu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun bidang tersebut diperpanjang tanpa batas.

Perhatikan gambar limas segilima berikut.

Garis $AB$ sejajar dengan garis $FG$ sebab bidang$\ ABCDE$ dan $FGHIJ$ tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas.

Pembahasan:

Diketahui:

$r=4\text{ cm}\$

Ditanya:

Nilai sinus $\frac{1}{2}\alpha$ yang terbentuk antara $AFH$ dan $BDE$.

Dijawab:

Bidang $AFH$ dan $BDE$ berpotongan pada sebuah garis tumpuan, dimana kedua ujung garis tersebut merupakan titik potong diagonal sisi $ADHE$ dan $ABFE$. Sudut antara kedua bidang dapat diketahui dengan menarik garis yang melalui masing-masing bidang $ADHE$ dan $$$ABFE$, dan tegak lurus terhadap garis tumpuan. Garis tersebut adalah $PA$ dan $PO$. Sehingga, sudut antara kedua bidang dapat diwakili oleh $\angle APO$ .

• Panjang $AO$

$AO=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+4^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{16+16}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{32}$

$=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}$

$=2\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang $PA$ $=$ $PO$

Titik $P$ berada di garis tumpuan yang merupakan terdiri atas titik-titik tengah diagonal sisi kubus, sehingga panjang $PA$ adalah setengah dari tinggi segitiga $AFH$. Begitu juga dengan $PO$ yang panjang ruasnya setengah dari tinggi segitiga $BDE$.

$PA=\frac{1}{2}\sqrt{AF^2-\left(\frac{1}{2}HF\right)^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}(4\sqrt{2}\right))^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{32-8}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{24}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{4\times6}$

$=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}$

$=\sqrt{6}\ \text{cm}$

• Sudut $\alpha$

Sudut $x$ adalah $\frac{1}{2}\alpha$.

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

$=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Jadi, nilai sinus $\frac{1}{2}\alpha$ yang terbentuk antara $AFH$ dan $BDE$ adalah $\frac{1}{3}\sqrt{3}$.

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan $\triangle NFG$ berikut.

Besar sudut antara atap dan langit-langit sama dengan besar $\angle NFG$.

Perhatikan bahwa tinggi $\triangle NFG$ adalah $35-25=10$ cm.

Untuk mencari besar $\angle NFG$ dapat digunakan tangen sebab panjang yang diketahui adalah panjang garis di depan dan samping sudut yang dicari.

$$ $\tan\angle NFG\ =\ \frac{depan}{samping}= \frac{10}{10\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Sehingga $\angle NFG\ =\ 30^o$ sebab $\tan30^o\ =\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Pembahasan:

Sudut yang dibentuk oleh garis $CH$ dan bidang $BDHF$ dapat diketahui dengan memproyeksikan garis $CH$ ke bidang $BDHF$, yaitu ruas $HC'$. Besar sudutnya diwakili oleh $\angle CHC'$. Asumsi rusuk kubus adalah 1.

• Panjang $CH$

$CH=\sqrt{CG^2+GH^2}$

$=\sqrt{1^2+1^2}$

$=\sqrt{1+1}$

$=\sqrt{2}$

• Panjang $CC'$

$CC'=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

• Besar $\angle CHC'$

$\sin x=\frac{CC'}{CH}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

$x=30˚$

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis $CH$ dan bidang $BDHF$ adalah 30˚.

Pembahasan:

Diketahui :

$PQ\ =\ 12\ \text{}$ cm

$QR\ =\ 16$ cm

$t=24$ cm

Ditanya :

Jarak titik $P$ dengan garis $TR$

Dijawab :

Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis dari titik yang tegak lurus dengan garis.

Perhatikan gambar berikut.

Pertama, dicari terlebih dahulu panjang $PR$ dengan mengaplikasikan teorema pythagoras.pada $\triangle PQR$

$PR=\sqrt{PQ^{2\ }+Q^2}\$

$=\sqrt{12^2+16^2}$

$=\sqrt{144+256}$

$=\sqrt{400}$

$=20$ cm

Karena $O$ titik tengah dari $PR$, maka $OR\ =\ \frac{PR}{2}=\ \frac{20}{2}=10$ cm.

Selanjutnya perhatikan $\triangle TOR$ siku-siku di $O$. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh

$TR\ =\ \sqrt{OR^{2\ }+OT^2}$

$=\sqrt{10^2+24^2}$

$=\sqrt{100+576}$

$=\sqrt{676}$

$=26$ cm

Perhatikan $\triangle PTR$ berikut.

Jarak titik $P$ ke garis $TR$ sama dengan panjang ruas garis $PW$. Untuk mencari $$ $PW$ digunakan rumus dari luas segitiga berikut.

$\frac{1}{2}\times PR\ \times OT\ =\ \frac{1}{2}\times TR\ \times PW$

$20\ \times24\ =\ 26\times PW$

$PW\ =\ \frac{20\ \times24}{26}=\frac{480}{26}=18\ \frac{6}{13}$ cm

Jadi, jarak titik $P$ ke garis $TR$ adalah $18\ \frac{6}{13}$ cm.

Pembahasan:

Diketahui:

$r=20\ \text{cm}$

Titik $R$ titik tengah $AD$.

Titik $S$ titik tengah $AB$.

Titik $O$ adalah titik potong diagonal bidang $EFGH$.

Ditanya:

Cosinus sudut antara $RSO$ dan alas $ABCD$.

Dijawab:

Garis $RS$ adalah garis perpotongan bidang $RSO$ dan alas $ABCD$. Sudut antara kedua bidang dapat diperoleh dengan menarik garis yang melalui bidang dan tegak lurus terhadap garis perpotongan tersebut. Garis $OP$ adalah garis yang melalui bidang $RSO$ dan tegak lurus garis $RS$. Garis $PQ$ adalah garis yang melalui bidang $ABCD$ dan tegak lurus garis $RS$. Sehingga, besar sudut antara bidang $RSO$ dan alas $ABCD$ dapat diwakili oleh $\angle OPQ$.

• Panjang $PQ$

$PQ=\frac{1}{4}AC$

$PQ=\frac{1}{4}\sqrt{AB^2+BC^2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{20^2+20^2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{400+400}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{800}$

$=\frac{1}{4}\times20\sqrt{2}$

$=5\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang $OP$

$OP=\sqrt{OQ^2+PQ^2}$

$=\sqrt{20^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2}$

$=\sqrt{400+50}$

$=\sqrt{450}$

$=15\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Cosinus $\angle OPQ$

$\cos x=\frac{5\sqrt{2}}{15\sqrt{2}}$

$\cos x=\frac{1}{3}$

Jadi, cosinus sudut antara $RSO$ dan alas $ABCD$ adalah $\frac{1}{3}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Rusuk = $\frac{1}{2}\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Ditanya:

Selisih besar sudut yang terbentuk antara garis $AC$ dan $ST$ dengan garis $DR$ dan $UC$.

Dijawab:

• Sudut antara garis $AC$ dan $ST$

Garis $BC$ adalah garis yang sejajar dengan $ST$ dan berpotongan dengan $AC$ di titik $C$, sehingga sudut antara garis $AC$ dan $ST$ dapat diwakili oleh $\angle ACB$.

Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut siku-siku $B$ memiliki nilai 90˚. Sudut $A$ dan sudut $C$ sama besar, sehingga:

$\angle C=\frac{\left(180-90\right)}{2}=\frac{90}{2}=45\degree$

• Sudut antara garis $DR$ dan $UC$

Garis $BR$ adalah garis yang sejajar dengan $UC$ dan berpotongan dengan $DR$ di titik $R$, sehingga sudut antara garis $DR$ dan $UC$ dapat diwakili oleh $\angle DRB$.

Segitiga $DRB$ adalah segitiga sama sisi, sehingga setiap sudut besarnya 60˚.

• Selisih $\angle ACB$ dengan $\angle DRB$

$=\angle DRB-\angle ACB$

$=60˚-\ 45˚$

$=15˚$

Jadi, selisih besar sudut yang terbentuk antara garis $AC$ dan $ST$ dengan garis $DR$ dan $UC$ adalah 15˚.