Contoh Soal

Pembahasan:

Variabel diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya dapat dihitung banyaknya (countable). Sedangkan variabel kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas dan tidak dapat dihitung banyaknya.

Berdasarkan opsi di atas, banyak anak perempuan dalam satu keluarga dapat dihitung (countable) sehingga merupakan variabel diskrit.

Sedangkan opsi lainnya memiliki nilai yang tidak terbatas sehingga tidak dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel kontinu.

Pembahasan:

Variabel diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya dapat dihitung banyaknya (countable). Sedangkan variabel kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas dan tidak dapat dihitung banyaknya.

Berdasarkan opsi di atas, banyak bilangan bulat yang kurang dari $4$ merupakan variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas sehingga tidak dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel kontinu.

Sedangkan opsi lainnya memiliki nilai yang dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel diskrit.

Pembahasan:

Diketahui:

$P\left(x\right)=\left(_x^6\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{6-x}$ untuk $x=0,1,2,3,4,5,6$

Ditanya:

$P\left(X\ge5\right)$$=?$

Jawab:

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi dengan variabel acak diskrit. Pada variabel acak diskrit, berlaku bahwa:

$P\left(X\ge5\right)=P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)$

Untuk $P\left(X=5\right)$ didapatkan:

$P\left(X=5\right)=\left(_5^6\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{6-5}$

$=\left(\frac{6!}{\left(6-5\right)!\ \cdot\ 5!}\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^1$

$=\left(\frac{6!}{1!\ \cdot\ 5!}\right)\cdot\left(\frac{1}{243}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)$

$=\left(\frac{6\ \cdot\ 5!}{1!\ \cdot\ 5!}\right)\cdot\left(\frac{1}{243}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{ }$

$=\left(6\right)\cdot\left(\frac{1}{243}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)$

$=\frac{4}{243}$

Untuk $P\left(X=6\right)$ didapatkan:

$P\left(X=6\right)=\left(_6^6\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^6\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{6-6}$

$=\left(\frac{6!}{\left(6-6\right)!\ \cdot\ 6!}\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^6\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^0$

$=\left(\frac{6!}{0!\ \cdot\ 6!}\right)\cdot\left(\frac{1}{729}\right)\cdot\left(1\right)^{ }$; Ingat bahwa $a^0=1$ dan $0!=1$

$=\left(1\right)\cdot\left(\frac{1}{729}\right)\cdot\left(1\right)^{ }$

$=\frac{1}{729}$

Sehingga:

$P\left(X\ge5\right)=\frac{4}{243}+\frac{1}{729}$

$=\frac{13}{729}$

Jadi, nilai $P\left(X\ge5\right)$ adalah $\frac{13}{729}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Misalkan $X$ adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi peluang

Ditanya:

Nilai $k=?$

Dijawab:

Fungsi $f\left(x\right)$ adalah fungsi padat peluang dari peubah acak kontinu $X$ yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil $R$, bila memenuhi syarat:

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

Karena $f\left(x\right)=0$ untuk nilai $x$ yang tidak berada pada interval $-2\le x\le2$ maka:

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

$\Leftrightarrow\int_{-2}^2k\left(3x+x^2\right)dx=1$

$\Leftrightarrow k\int_{-2}^2\left(3x+x^2\right)dx=1$

Ingat bahwa untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

dan

$\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

dengan $F\left(x\right)$ adalah suatu anti turunan dari $f\left(x\right)$ sehingga:

$k\int_{-2}^2\left(3x+x^2\right)dx=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3\right)\right]_{-2}^2=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}\left(2\right)^2+\frac{1}{3}\left(2\right)^3\right)-\left(\frac{3}{2}\left(-2\right)^2+\frac{1}{3}\left(-2\right)^3\right)\right]=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(8\right)\right)-\left(\frac{3}{2}\left(4\right)+\frac{1}{3}\left(-8\right)\right)\right]=1$

$\Leftrightarrow k\left[\left(6+\frac{8}{3}\right)-\left(6-\frac{8}{3}\right)\right]=1$

$\Leftrightarrow k\left[6+\frac{8}{3}-6+\frac{8}{3}\right]=1$

$\Leftrightarrow k\left[\frac{16}{3}\right]=1$

$\Leftrightarrow k=\frac{1}{\frac{16}{3}}$

$\Leftrightarrow k=\frac{3}{16}$

Jadi, nilai $k$ adalah $\frac{3}{16}$.

Pembahasan:

Diketahui:

$P\left(x\right)=\left(_x^5\right)\left(\frac{1}{3}\right)^x\left(\frac{2}{3}\right)^{5-x}$ untuk $x=1,2,3,4,5$

Ditanya:

$P\left(X<3\right)$ $=?$

Jawab:

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi dengan variabel acak diskrit. Pada variabel acak diskrit, berlaku

$P\left(X<3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)$

Untuk $P\left(X=1\right)$

$P\left(X=1\right)=\left(_1^5\right)\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^{5-1}$

$=\left(\frac{5!}{\left(5-1\right)!\ .\ 1!}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4$

$=\left(\frac{5!}{4!\ .\ 1!}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4$

$=\frac{80}{243}$

Untuk $P\left(X=2\right)$

$P\left(X=2\right)=\left(_2^5\right)\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^{5-2}$

$=\left(_2^5\right)\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3$

$=\left(\frac{5!}{\left(5-2\right)!\ .\ 2!}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3$

$=\left(\frac{5!}{3!\ .\ 2!}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3$

$=\frac{80}{243}$

Maka

$P\left(X<3\right)=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}$

$=\frac{160}{243}$

Pembahasan:

Diketahui:

Tabel distribusi probabilitas variabel acak $X$

Ditanya:

Nilai dari $P\left(X\le3\right)=?$

Dijawab:

Fungsi distribusi kumulatif didefinisikan sebagai:

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right)=\sum_{x_i\le x}^{ }p\left(x_i\right)$

Dengan demikian,

$P\left(X\le3\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{3}{8}$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{4+2+1+6}{16}$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{13}{16}$

Jadi, nilai dari $P\left(X\le3\right)$ adalah $\frac{13}{16}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Mata uang memiliki sisi angka dan sisi gambar

Mata uang tersebut dilempar $4$ kali

Ditanya:

Rata-rata banyaknya gambar yang muncul $=?$

Jawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil seperti ya-tidak, sukses-gagal.

Di sini 4 kali pelemparan mata uang adalah percobaan dengan 4 pengulangan sedangkan munculnya sisi gambar dan bukan gambar adalah dua kemungkinan hasil. Di sini bukan gambar artinya adalah sisi angka.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)p^x\ .\ q^{n-x}$

dengan $x=0,1,2,...,n$ dan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ .\ x!}$

dimana $x$ adalah banyaknya sukses, $n$ adalah banyaknya percobaan, $p$ adalah probabilitas kesuksesan, dan $q=1-p$ adalah probabilitas kegagalan.

Rata-rata populasi distribusi binomial ditentukan oleh

$\mu=np$

Berdasarkan soal di atas, diketahui $n=4;\ p=\frac{1}{2};\ q=\frac{1}{2}$

Dengan demikian,

$\mu=4\ .\ \frac{1}{2}$

$=2$

Jadi, rata-rata banyaknya gambar yang muncul adalah $2$.

Pembahasan:

Diketahui:

Total bola $=8$ bola

Bola biru $=5$ bola

Banyak pengambilan bola $=4$ kali

Ditanya:

Peluang terambilnya bola biru sebanyak $3$ kali $=?$

Jawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil seperti ya-tidak, sukses-gagal.

Di sini 4 kali pengambilan bola adalah percobaan dengan 4 pengulangan sedangkan terambilnya bola biru dan bukan biru adalah dua kemungkinan hasil.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)p^x\ .\ q^{n-x}$

dengan $x=0,1,2,...,n$ dan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ .\ x!}$

dimana $x$ adalah banyaknya sukses, $n$ adalah banyaknya percobaan, $p$ adalah probabilitas kesuksesan, dan $q=1-p$ adalah probabilitas kegagalan.

Dengan demikian,

Karena total bola ada $8$ dan bola biru ada $5$ maka $p=\frac{5}{8}$ dan $q=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$

Banyak pengambilan bola $=4$ kali maka $n=4$

$P\left(X=3\right)=\left(_3^4\right)\left(\frac{5}{8}\right)^3\left(\frac{3}{8}\right)^{4-3}$

$=\left(\frac{4!}{\left(4-3\right)!\ .\ 3!}\right)\left(\frac{5}{8}\right)^3\left(\frac{3}{8}\right)^1$

$=\left(\frac{4!}{1!\ .\ 3!}\right)\left(\frac{5}{8}\right)^3\left(\frac{3}{8}\right)^1$

$=\frac{375}{1.024}$

Jadi, peluang terambilnya bola biru sebanyak $3$ kali adalah $\frac{375}{1.024}$ .

Pembahasan:

Diketahui:

Suatu variabel acak diskrit $X$ mempunyai distribusi peluang

$f\left(x\right)=\left(_x^2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2-x}$ , untuk $x=0,1,2$

Ditanya:

Nilai harapan dari $X=?$

Dijawab:

Distribusi peluang bagi $X$ adalah sebagai berikut:

$f\left(x\right)=\left(_x^2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2-x}$ . untuk $x=0,1,2$

dengan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ \cdot\ x!}$

Untuk $X=0$ didapatkan:

$f\left(0\right)=\left(_0^2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^0\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2$

$=\frac{2!}{\left(2-0\right)!\ \cdot\ 0!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^0\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2$

$=\frac{2!}{2!\ \cdot\ 0!}\cdot\left(1\right)\cdot\left(\frac{4}{9}\right)$ ; ingat bahwa $a^0=1$ dan $0!=1$

$=\left(1\right)\cdot\left(1\right)\cdot\left(\frac{4}{9}\right)$

$=\frac{4}{9}$

Untuk $X=1$ didapatkan:

$f\left(1\right)=\left(_1^2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^1$

$=\frac{2!}{\left(2-1\right)!\ \cdot\ 1!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^1$

$=\frac{2!}{1!\ \cdot\ 0!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)$

$=\left(2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)$

$=\frac{4}{9}$

Untuk $X=2$ didapatkan:

$f\left(2\right)=\left(_2^2\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^0$

$=\frac{2!}{\left(2-2\right)!\ \cdot\ 2!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^0$

$=\frac{2!}{0!\ \cdot\ 2!}\cdot\left(\frac{1}{9}\right)\cdot\left(1\right)$ ; ingat bahwa $a^0=1$ dan $0!=1$

$=\left(1\right)\cdot\left(\frac{1}{9}\right)\cdot\left(1\right)$

$=\frac{1}{9}$

Jika disajikan di dalam tabel didapatkan:

Nilai harapan atau rata-rata variabel acak ditentukan oleh

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^nx_i\ .\ f\left(x_i\right)$

Dengan demikian nilai harapan dari $X$ didapatkan:

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^3x_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=0\left(\frac{4}{9}\right)+1\left(\frac{4}{9}\right)+2\left(\frac{1}{9}\right)$

$=0+\frac{4}{9}+\frac{2}{9}$

$=\frac{6}{9}$

$=\frac{2}{3}$

Jadi, nilai harapan dari $X$ adalah $\frac{2}{3}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Misalkan $X$ dan $Y$ memiliki fungsi probabilitas bersama sebagai berikut.

Ditanya:

$P\left(Y=1|X=1\right)=?$

Dijawab:

Peluang bersyarat dengan kejadian $X=x$ dan $Y=y$ maka:

$P\left(Y=y|X=x\right)=\frac{P\left(X=x,Y=y\right)}{P\left(X=x\right)}$

$\Leftrightarrow P\left(Y=y|X=x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{g\left(x\right)}$ dengan $g\left(x\right)>0$

dengan $f\left(x,y\right)$ adalah fungsi probabilitas bersama dari $X$ dan $Y$ dan $g\left(x\right)$ adalah fungsi marginal dari $X$ dimana

$g\left(x\right)=\sum_{y=0}^nf\left(x,y\right)$

Berdasarkan soal di atas, hitung terlebih dahulu $g\left(1\right)$ didapatkan:

$g\left(1\right)=f\left(1,0\right)+f\left(1,1\right)+f\left(1,2\right)$

$=\frac{9}{28}+\frac{3}{14}+0$

$=\frac{15}{28}$

Sehingga:

$P\left(Y=1|X=1\right)=\frac{f\left(1,1\right)}{g\left(1\right)}$

$=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{15}{28}}$

$=\frac{3}{14}\times\frac{28}{15}$

$=\frac{2}{5}$

Jadi, $P\left(Y=1|X=1\right)=\frac{2}{5}$.