Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $h\left(x\right)=\sin 3x-4$ dengan $0\le x\le2\pi$.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, titik balik minimum fungsi $h$ ?

Jawab:

Misalkan fungsi $f\left(x\right)$ kontinu dan diferensiabel dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertama $f'\left(x\right)$ dan turunan kedua $f''\left(x\right)$ ada pada interval $I$, serta $f'\left(c\right)=0$ dengan $f\left(c\right)$ nilai stasioner.

1. Jika $f''\left(c\right)<0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
2. Jika $f''\left(c\right)>0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
3. Jika $f''\left(c\right)=0$ maka $f\left(c\right)$ bukan nilai ekstrim maksimum fungsi $f$ dan titik $\left(c,\ f\left(c\right)\right)$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=\sin 3x-4$. Diperoleh

$h'\left(x\right)=3\cos 3x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$h''\left(x\right)=-9\sin3 x$

Syarat nilai balik minimum adalah

$h'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow3\cos 3x=0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi$

sebab $\cos\frac{1}{2}\pi=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta$ adalah $ax+b=\theta+2k\pi$ atau $ax+b=-\theta+2k\pi$ sehingga untuk $\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi$ didapat

$3x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi$

$\Leftrightarrow x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=\frac{1}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{5}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=2$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{9}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=3$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+2\right)\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

atau

$3x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi$

$\Leftrightarrow x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=-\frac{1}{6}\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{3}{6}\pi=\frac{1}{2}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=2$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{7}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=3$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{12}{6}\right)\pi=\frac{11}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\frac{1}{6}\pi,\ \frac{5}{6}\pi,\ \frac{9}{6}\pi,\ \frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi$

Selanjutnya akan ditinjau nilai $h''\left(x\right)$ untuk $x$ yang telah diperoleh sebelumnya.

Perlu diingat untuk sembarang $\sin\left(2\pi+\theta\right)=\sin\theta$. Didapat

$h''\left(\frac{1}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{6}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{5}{6}\pi=-9\sin\frac{5}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{9}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{9}{6}\pi=-9\sin\frac{9}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

$h''\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{7}{6}\pi=-9\sin\frac{7}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

$h''\left(\frac{11}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{11}{6}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

Yang diminta soal adalah titik balik minimum, sehingga dipilih $x=c$ yang memenuhi $h''\left(c\right)>0$

yaitu $x=\frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi$

Untuk $x=\frac{1}{2}\pi$ didapat $h\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\sin3.\frac{1}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Untuk $x=\frac{7}{6}\pi$ didapat $h\left(\frac{7}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{7}{6}\pi-4=\sin\frac{7}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Untuk $x=\frac{11}{6}\pi$ didapat $h\left(\frac{11}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{11}{6}\pi-4=\sin\frac{11}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Jadi titik balik minimum fungsi $h$ adalah $(\frac{1}{2}\pi,\ -5),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -5),$ dan $(\frac{11}{6}\pi,\ -5)$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $y=\frac{\cot x}{\sin x-\cos x}$

Ditanya:

Turunan pertama dari $y=\frac{\cot x}{\sin x-\cos x}$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cot x$ turunannya adalah $y'=-\csc^2 x$

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Untuk fungsi $y=\frac{u}{v}$ turunannya adalah $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $y=\frac{u}{v}$ dengan $u=\cot x$ dan $v=\sin x-\cos x$

Diperoleh

$u'=-\csc^2x$

$v'=\cos x-(-\sin x)=\cos x+\sin x$

Dengan demikian didapat

$y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{-\csc^2x(\sin x-\cos x)-\cot x\left(\cos x+\sin x\right)}{(\sin x-\cos x)^2}$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $h(x)=2\sin (5x-6)+\cos (6-5x)$

Ditanya:

$h'\left(x\right)$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin (Ax\pm B)$ turunannya adalah $y'=A\cos (Ax\pm B)$

Untuk fungsi $y=\cos (Ax\pm B)$ turunannya adalah $y'=-A\sin (Ax\pm B)$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $h\left(x\right)=h_1\left(x\right)+h_2\left(x\right)$ dengan $h_1\left(x\right)=2\sin (5x-6),\ h_2\left(x\right)=\cos (6-5x)$

Diperoleh

$h_1'\left(x\right)=5.2\cos (5x-6)=10\cos (5x-6)$

$h_2'\left(x\right)=(-5)(-\sin(6-5x))=5\sin(6-5x)$

Dengan demikian

$h'\left(x\right)=10\cos(5x-6)+5\sin(6-5x)$

Pembahasan:

Diketahui:

Kurva $f\left(x\right)=2\tan x-\cot x$

Ditanya:

Persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)=2\tan x-\cot x$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis singgung suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=f'\left(x_1\right)\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\tan x$ turunannya adalah $y'=\sec^2 x$

Untuk fungsi $y=\cot x$ turunannya adalah $y'=-\csc^2 x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$ dengan $g\left(x\right)=2\tan x$ dan $h\left(x\right)=-\cot x$

Diperoleh

$g'\left(x\right)=2\sec^2x$

$h'\left(x\right)=\csc^2x$

Dengan demikian

$f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)=2\sec^2x+\csc^2x$

dan gradien garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},\ 1\right)$ adalah

$m=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow m=2\sec^2\frac{\pi}{4}+\csc^2\frac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow m=2\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2$

$\Leftrightarrow m=2.\frac{4}{2}+\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow m=4+2$

$\Leftrightarrow m=6$

Selanjutnya persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(\frac{\pi}{4},\ 1\right)$ adalah

$y-1=6\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow y-1=6x-6.\frac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow y-1=6x-\frac{3}{2}\pi$

$\Leftrightarrow y=6x+1-\frac{3}{2}\pi$

Pembahasan:

Diketahui:

Kurva $y=g(x)$ dengan $g(x)=\frac{\cos x}{\csc x}$

Ditanya:

Persamaan garis normal pada kurva $y$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis normal suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis normal pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=-\frac{1}{f'\left(x_1\right)}\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=\csc x$ turunannya adalah $y'=-\csc x\cot x$

Untuk fungsi $y=\frac{u}{v}$ turunannya adalah $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $g(x)=\frac{u}{v}$ dengan $u=\cos x$ dan $v=\csc x$

Diperoleh

$u'=-\sin x$

$v'=-\csc x\cot x$

Perlu diingat bahwa $\sin x\csc x=1$, $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ dan $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Dengan demikian didapat

$g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-\sin x\csc x-\cos x(-\csc x\cot x)}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\csc x\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\frac{1}{\sin x}\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cot^2 x}{\csc^2x}$

dan gradien garis singgung pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$m=g'(60\degree)$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\cot^260\degree}{\csc^260\degree}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree}}{\frac{1}{\sin^260\degree}}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree})\sin^260\degree$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2}\sqrt3)^2})(\frac{1}{2}\sqrt3)^2$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{1}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-\frac{2}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Selanjutnya persamaan garis normal pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=2\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree)$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Banyak nilai minimum fungsi $f\left(x\right)$ ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=a\cos (ax\pm b)$

Untuk fungsi $y=\cos (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=-a\sin (ax\pm b)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree)$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$.

Diperoleh

$f'\left(x\right)=-2.3\sin (2x-60\degree)=-6\sin (2x-60\degree)$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$f''\left(x\right)=-2.6\cos (2x-60\degree)=-12\cos (2x-60\degree)$

Syarat pertama untuk mencari nilai minimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow-6\sin (2x-60\degree)=0$

$\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=0$

$\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree$

sebab $\sin0\degree=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree$ didapat

$2x-60\degree=0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x=60\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=30\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=30\degree+0.180\degree\Leftrightarrow x=30\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=30\degree+1.180\degree\Leftrightarrow x=210\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=30\degree+2.180\degree\Leftrightarrow x=390\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$2x-60\degree=180\degree-0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x-60\degree=180\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow2x=240\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=120\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=120\degree+0.180\degree=120\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=120\degree+1.180\degree=300\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=120\degree+2.180\degree=480\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\left\{30\degree, 120\degree, 210\degree, 300\degree\right\}$

Perlu diingat bahwa nilai dari $\sin\left(2k\pi+\theta\right)=\sin\theta$

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap $x$ yang diperoleh

$f''\left(30\degree\right)=-12\cos (2.30\degree-60\degree)=-12\cos (0\degree)=-12.1<0$ (maksimum)

$f''\left(120\degree\right)=-12\cos (2.120\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0$ (minimum)

$f''\left(210\degree\right)=-12\cos (2.210\degree-60\degree)=-12\cos (360\degree)=-12.1<0$ (maksimum)

$f''\left(300\degree\right)=-12\cos (2.300\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0$ (minimum)

Yang diminta soal adalah banyaknya nilai mininum fungsi $f\left(x\right)$. Tanpa dihitung nilainya sudah dapat disimpulkan bahwa banyaknya nilai maksimum fungsi $f(x)$ ada 2.

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $y=2\tan x+3\cot x-4x^2$

Ditanya:

Turunan pertama dari $y=2\tan x+3\cot x-4x^2$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\tan x$ turunannya adalah $y'=\sec^2 x$

Untuk fungsi $y=\cot x$ turunannya adalah $y'=-\csc^2 x$

Untuk fungsi $y=ax^n$ turunannya adalah $y'=a.n.x^{n-1}$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $y=f(x)+g(x)+h(x)$ dengan $f(x)=2\tan x, g(x)=3\cot x,$ dan $h(x)=-4x^2$

Diperoleh

$f'(x)=2\sec^2x$

$g'(x)=-3\csc^2x$

$h'(x)=-4.2.x^{2-1}=-8x$

Dengan demikian

$y'=f'(x)+g'(x)+h'(x)$

$\Leftrightarrow y'=2\sec^2x+(-3\csc^2x)+(-8x)$

$\Leftrightarrow y'=2\sec^2x-3\csc^2x-8x$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $f(x)=1+2\cos x-3x$

Ditanya:

Turunan pertama dari $f(x)=1+2\cos x-3x$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=x^n$ turunannya adalah $y'=nx^{n-1}$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+f_3\left(x\right)$ dengan $f_1\left(x\right)=1,\ f_2\left(x\right)=2\cos x,\ f_3\left(x\right)=-3x$

Diperoleh

$f_1'\left(x\right)=0$

$f_2'\left(x\right)=2\left(-\sin x\right)=-2\sin x$

$f_3'\left(x\right)=-3.1x^{1-1}=-3x^0=-3$

Dengan demikian

$f'\left(x\right)=0+\left(-2\sin x\right)+\left(-3\right)=-2\sin x-3$