Contoh Soal

Pembahasan:

Ingat bentuk dari kurva distribusi normal.

Luasan total daerah di bawah kurva distribusi normal adalah 1.

Pembahasan:

Daerah bawah kurva yang terletak di sebelah kiri $z=k$ dapat dinyatakan sebagai $P\left(Z<k\right)=0,6026$ dan ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Kurva distribusi normal maupun distribusi normal baku bersifat simetris dimana garis simetrisnya berada pada $z=0$, sedangkan luas area keseluruhan di bawah kurva normal adalah 1.

Luas daerah terarsir di bawah kurva normal pada gambar di atas adalah $0,6026$ di sebelah kiri. Kita dapat menemukan nilai $k$ dengan mencari $z$ mana yang memiliki nilai sebesar $0,6026$ di tabel distribusi normal di bawah ini.

Menemukan nilai $z.$

Dengan menemukan angka $0,6026$ pada tabel di atas, kemudian lihat kolom paling kiri yang sejajar dengan $0,6026$, kemudian juga lihat kolom di atasnya. Sehingga ditemukan $0,2$ pada sebelah kiri dan $0,06$ pada bagian atas atau ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Oleh karena itu, nilai $z$-nya adalah:

$z=0,2+0,06=0,26$

Dengan demikian, karena $z=k$, maka nilai $k=0,26.$

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $0,26.$

Pembahasan:

Distribusi normal mempunyai kurva berbentuk simetris yang menyerupai lonceng atau dikenal dengan bells shaped seperti gambar di bawah ini.

Pembahasan:

Ingat bahwa bentuk dari kurva distribusi normal adalah lonceng.

Sehingga jawaban yang tepat adalah pilihan C.

Pembahasan:

Daerah bawah kurva yang terletak di sebelah kiri $z=2,19$ dapat dinyatakan sebagai $P\left(Z<2,19\right)$ dan dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Kurva distribusi normal maupun distribusi normal baku bersifat simetris dimana garis simetrisnya berada pada $z=0$, sedangkan luas area keseluruhan di bawah kurva normal adalah 1.

Nilai $P\left(Z<2,19\right)$ dapat ditemukan melalui tabel di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel Distribusi Normal.

Kita akan mencari luas daerah di bawah kurva di kiri $z=2,19.$ Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $2,1$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,09$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,9857$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Dengan demikian,

$P\left(Z<2,19\right)=0,9857$

Hal ini berarti luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z=2,19$ adalah $0,9857$.

Pembahasan:

Diketahui:

Rata-rata: $\mu=134$

Variansi: $\sigma=5$

$x=150$

Ditanya:

$z?$

Dijawab:

Ingat rumus distribusi normal baku $Z$:

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

Sehingga kita dapatkan perhitungan:

$z=\frac{150-134}{5}$

$z=\frac{16}{5}$

$z=3,2$

Jadi, dapat disimpulkan bahwa z dalam soal tersebut adalah $3,2$.

Pembahasan:

Diketahui:

$\mu=21$

$\sigma=5$

$x=25$

Ditanya:

Luas daerah bawah kurva normal di sebelah kanan $x=25$ atau $P\left(X>25\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$, sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x=25$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z=\frac{25-21}{5}=\frac{4}{5}=0,8$

Sehingga,

$P\left(X>25\right)=P\left(Z>0,8\right)$

Sketsakan

$P\left(Z>0,8\right)$ artinya adalah luasan daerah di kanan $z=0,8$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$. Oleh karena itu, untuk menemukan luas di kanan $z=0,8$, kita harus menemukan luas di kiri $z=0,8$ terlebih dahulu, lalu mengurangkan 1 dengan luas daerah kurva di sebelah kiri $z=0,8$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(Z>0,8\right)=1-P\left(Z\le0,8\right)$

Nilai $P\left(Z\le0,8\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $0,8$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,00$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,7881$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z\le0,8\right)=0,7881$

Dengan demikian,

$P\left(X>25\right)=P\left(Z>0,8\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X>25\right)=1-P\left(X\le0,8\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X>25\right)=1-0,7881$

$\Leftrightarrow P\left(X>25\right)=0,2119$

Jadi, luas daerah di bawah kurva normal di sebelah kanan $x=25$ adalah $0,2119$

Pembahasan:

Daerah bawah kurva yang terletak di sebelah kanan $z=1,22$ dapat dinyatakan sebagai $P\left(Z>1,22\right)$ dan ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Kurva distribusi normal maupun distribusi normal baku bersifat simetris dimana garis simetrisnya berada pada $z=0$, sedangkan luas area keseluruhan di bawah kurva normal adalah 1.

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$. Oleh karena itu, untuk menemukan luas di kanan $z=1,22$, kita harus menemukan luas di kiri $z=1,22$ terlebih dahulu, lalu mengurangkan 1 dengan luas daerah kurva di sebelah kiri $z=1,22$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(Z>1,22\right)=1-P\left(Z\le1,22\right)$

Nilai $P\left(Z\le1,22\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel Distribusi Normal.

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $1,2$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,02$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,8888$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Dengan demikian,

$P\left(Z>1,22\right)=1-0,888$

$\Leftrightarrow P\left(Z>1,22\right)=0,1112$

Hal ini berarti luas daerah di bawah kurva di sebelah kanan $z=1,22$ adalah $0,1112$.

Pembahasan:

Diketahui:

$\mu=22$

$\sigma=5,5$

$x=25$

Ditanya:

Peluang seekor tikus hidup kurang dari 25 bulan atau $P\left(X<25\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$, sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x=25$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z=\frac{25-22}{5,5}=\frac{3}{5.5}\approx0,55$

Sehingga,

$P\left(X<25\right)=P\left(Z<0,55\right)$

Sketsakan

$P\left(Z<0,55\right)$ artinya adalah luasan daerah di kiri $z=0,55$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$.

Nilai $P\left(Z<0,55\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $0,5$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,05$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,7088$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z\le0,55\right)=0,7088$

Jadi, peluang tikus hidup kurang dari 25 bulan adalah $0,7088$.

Pembahasan:

Diketahui:

$\mu=35$ cm

$\sigma=4$ cm

$x_1=36$ cm

$x_2=44$ cm

Ditanya:

$P\left(36<X<44\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$, sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x_1=36$ dan $x_2=44$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z_1=\frac{36-35}{4}=\frac{1}{4}=0,25$

$z_2=\frac{44-35}{4}=\frac{9}{4}=2,25$

Sehingga,

$P\left(26<X<44\right)=P\left(0,25<Z<2,25\right)$

Sketsakan

$P\left(0,25<Z<2,25\right)$ artinya adalah luasan daerah di antara $z_1=0,25$ dan $z_2=2,25$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$. Oleh karena itu, untuk menemukan luas di antara $z_1=0,25$ dan $z_2=2,25$ dapat diperoleh dari selisih luas di sebelah kiri $z_2=2,25$ dan di sebelah kiri $z_1=0,25$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(0,25<Z<2,25\right)=P\left(Z<2,25\right)-P\left(Z<0,25\right)$

Nilai $P\left(Z<0,25\right)$ dan $P\left(Z<2,25\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Untuk $P\left(Z<0,25\right)$

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $0,2$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,05$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,5987$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z<0,25\right)=0,5987$

Untuk $P\left(Z<2,25\right)$

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $2,2$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,05$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,9878$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z<2,25\right)=0,9878$

Dengan demikian,

$P\left(36<X<44\right)=P\left(0,25<Z<2,25\right)$

$\Leftrightarrow P\left(36<X<44\right)=P\left(Z<2,25\right)-P\left(Z<0,25\right)$

$\Leftrightarrow P\left(36<X<44\right)=0,9878-0,5987$

$\Leftrightarrow P\left(36<X<44\right)=0,3891$

$\Leftrightarrow P\left(36<X<44\right)=38,91\%$

Jadi, persentase roti yang memiliki panjang antara 36 cm dan 44 cm adalah $38,91\%$.