Contoh Soal

Pembahasan:

Rumus umum selisih cosinus adalah

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\left(\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\sin\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\right)$

Dengan demikian,

$-\left(\sin\frac{1}{2}\left(4a+b\right)\sin\frac{1}{2}\left(4a-b\right)\right)=-\frac{1}{2}\ .\ 2\left(\sin\frac{1}{2}\left(4a+b\right)\sin\frac{1}{2}\left(4a-b\right)\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos4a-\cos b\right)$

Pembahasan:

Rumus umum perkalian cosinus adalah

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha-\beta\right)+\cos\left(\alpha+\beta\right)\right)$

Dengan demikian,

$\cos32\degree\cos18\degree=\frac{1}{2}\left(\cos\left(32\degree-18\degree\right)+\cos\left(32\degree+18\degree\right)\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos\left(14\degree\right)+\cos\left(50\degree\right)\right)$

Pembahasan:

Rumus umum jumlah sinus adalah

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\cos\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)$

Dengan demikian,

$\sin23\degree+\sin27\degree=2\sin\frac{1}{2}\left(23\degree+27\degree\right)\cos\frac{1}{2}\left(23\degree-27\degree\right)$

$=2\sin\frac{1}{2}\left(50\degree\right)\cos\frac{1}{2}\left(-4\degree\right)$

$=2\sin25\degree\cos\left(-2\degree\right)$

Ingat hubungan $\cos\left(-\theta\right)=\cos\theta$ sehingga

$=2\sin25\degree\cos2\degree$

Pembahasan:

Rumus umum selisih cosinus adalah

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\sin\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)$

Dengan demikian,

$-2\sin\frac{1}{2}\left(2x+5y\right)\sin\left(2x-5y\right)=\cos2x-\cos5y$

Pembahasan:

Diketahui:

$\cos\theta=0,5$

$0\degree\le\theta\le90\degree$

Ditanya:

$\tan\frac{1}{2}\theta$ $=?$

Jawab:

Rumus umum tangen sudut paruh yang berada di kuadran I adalah

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

Sehingga cari nilai $\sin\theta$ terlebih dahulu.

$y=\sqrt{2^2-1^2}$

$=\sqrt{4-1}$

$=\sqrt{3}$

Karena $\sin\theta=\frac{\text{De}}{\text{Mi}}\$ maka $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

$=\frac{1-0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=0,5\times\frac{2}{\sqrt{3}}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Pembahasan:

Diketahui:

$\sin6a=0,8$

$\sin4b=0,3$

Ditanya:

$\cos\left(3a+2b\right)\sin\left(3a-2b\right)=?$

Jawab:

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan perkalian cosinus-sinus

Rumus umum perkalian cosinus-sinus adalah

$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)$

Dengan demikian,

$\cos\left(3a+2b\right)\sin\left(3a-2b\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\left(3a+2b+\left(3a-2b\right)\right)-\sin\left(3a+2b-\left(3a-2b\right)\right)\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\sin\left(3a+2b+3a-2b\right)-\sin\left(3a+2b-3a+2b\right)\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\sin6a-\sin4b\right)$

$=\frac{1}{2}\left(0,8-0,3\right)$

$=\frac{1}{2}\left(0,5\right)$

$=0,25$

Pembahasan:

Rumus umum perkalian sinus-cosinus

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)$

Dengan demikian

Hitung terlebih dahulu perkalian sinus-cosinus

$\sin90\degree\cos30\degree=\frac{1}{2}\left(\sin\left(90\degree+30\degree\right)+\sin\left(90\degree-30\degree\right)\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\sin120\degree+\sin60\degree\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Selanjutnya hasil perkalian sinus-cosinus dikalikan dengan $\sin45\degree$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}\ .\ \sin45\degree$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}\ .\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{6}$

Pembahasan:

Sederhanakan bentuk di atas dengan menggunakan rumus cosinus dan sinus dari sudut ganda.

Rumus umum cosinus dengan sudut ganda adalah sebagai berikut.

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$

$\cos2x=1-2\sin^2x$

$\cos2x=2\cos^2x-1$

Rumus umum sinus dengan sudut ganda adalah sebagai berikut.

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Dengan demikian,

$\frac{1-\cos50\degree}{\sin50\degree}=\frac{1-\left(1-2\sin^225\degree\right)}{2\sin25\degree\cos25\degree}$

$=\frac{1-1+2\sin^225\degree}{2\sin25\degree\cos25\degree}$

$=\frac{2\sin^225\degree}{2\sin25\degree\cos25\degree}$

$=\frac{\sin25\degree}{\cos25\degree}$

$=\tan25\degree$

Pembahasan:

Persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk penjumlahan sinus

$2\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=2\sin\frac{1}{2}\left(\pi-2\alpha\right)\cos\frac{1}{2}\left(\pi+2\alpha\right)$

$=2\sin\frac{1}{2}\left(\pi+\left(-2\alpha\right)\right)\cos\frac{1}{2}\left(\pi-\left(-2\alpha\right)\right)$

$=\sin\pi+\sin\left(-2\alpha\right)$

Ingat kembali bahwa $\sin\left(-\theta\right)=-\sin\theta$ maka

$=\sin\pi-\sin2\alpha$

$=0-\sin2\alpha$

$=-\sin2\alpha$

Pembahasan:

Ingat bahwa $\cos72\degree$ dapat ditulis menjadi $\cos\left(90\degree-18\degree\right)$

Hubungan pada kuadran I, $\cos\left(90\degree-\theta\right)=\sin\theta$. Dengan demikian,

$\cos\left(90\degree-18\degree\right)=\sin18\degree$

Misalkan, $A=18\degree$ maka $5A=90\degree$

$5A=90\degree$

$2A+3A=90\degree$

$2A=90\degree-3A$

$\sin2A=\sin\left(90\degree-3A\right)$

Hubungan pada kuadran I, $\sin\left(90\degree-\theta\right)=\cos\theta$

$\sin2A=\cos3A$

$\sin2A=\cos\left(2A+A\right)$

Karena $\sin2A=2\sin A\cos\ A$ dan

$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ maka

$2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-\sin2A\sin A$

$2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-\left(2\sin A\cos A\right)\sin A$

$2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\sin^2A\cos A$

Karena $\sin^2A=1-\cos^2A$ maka

$2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\left(1-\cos^2A\right)\cos A$

$2\sin A\cos A=\cos2A\cos A-2\cos A+2\cos^3A$

Karena $\cos2A=2\cos^2A-1$ maka

$2\sin A\cos A=\left(2\cos^2A-1\right)\cos A-2\cos A+2\cos^3A$

$2\sin A\cos A=2\cos^3A-\cos A-2\cos A+2\cos^3A$

$2\sin A\cos A=4\cos^3A-3\cos A$

$2\sin A\cos A-4\cos^3A+3\cos A=0$

$\cos A\left(2\sin A-4\cos^2A+3\right)=0$

Setiap ruas dikali $\frac{1}{\cos A}$

$2\sin A-4\cos^2A+3=0$

Karena $\cos^2A=1-\sin^2A$ maka

$2\sin A-4\left(1-\sin^2A\right)+3=0$

$2\sin A-4+4\sin^2A+3=0$

$4\sin^2A+2\sin A-1=0$

Mencari akar dari persamaan kuadrat menggunakan rumus $ABC$

Jika diketahui persamaan $ax^2+bx+c=0$ maka rumus $ABC$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Karena $a=4,b=2,c=-1$ maka

$\sin A=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\left(4\right)\left(-1\right)}}{2\left(4\right)}$

$=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8}$

$=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}$

$=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}$

$\sin A=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$

Karena sudut berada di kuadran I, maka sinus bernilai positif

$$ $\sin A=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Jadi, $\cos72\degree=\sin18\degree=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$