Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat 4 buah pernyataan:

1. Nilai x yang memenuhi dari $\tan x=\tan25^{\circ}$ adalah $215^{\circ}$
2. Rumus persamaan trigonometri $\sin x=\sin a$ adalah $x=\left(2\pi-a\right)+k\pi$
3. $$Nilai x yang memenuhi dari $\cos x=\cos60^{\circ}$ adalah $300^{\circ}$
4. Nilai x yang memenuhi dari $\cos x=\cos a$ adalah $x=a-2k\pi$

Ditanya:

Pernyataan yang benar?

Dijawab:

Pernyataan 1

Berdasarkan pada persamaan $\tan x=\tan25^{\circ}$dan dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\tan x=\tan a$ maka didapat hasil $x=a+k\cdot180^{\circ}$ , maka hasil dari persamaan trigonometri pada soal dapat ditulis dengan:

$\leftrightarrow\ x=25^{\circ}+k\cdot180^{\circ}$

Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $\ x=25^{\circ}$ (k=0)
2. $\ x=205^{\circ}$ (k=1)
3. $\ x=385^{\circ}$ (k=2)
4. dst.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah $205^{\circ}$, maka pernyataan 1 benar.

Pernyataan 2

Rumus persamaan trigonometri $\sin x=\sin a$ adalah $$$x=a+2k\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+2k\pi$ , maka pernyataan 2 salah.

Pernyataan 3

Berdasarkan pada persamaan $\cos x=\cos60^{\circ}$, maka dengan mengasumsikan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\cos x=\cos a$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot360^{\circ}$ dan $x=-a+k\cdot360^{\circ}$ sehingga kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

$x=60^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $x=60^{\circ}$ (k=0)
2. $x=420^{\circ}$ (k=1)
3. dst.

$x=-60^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $x=-60^{\circ}$(k=0)
2. $x=300^{\circ}$ (k=1)
3. dst.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah $300^{\circ}$, maka pernyataan 3 benar.

Pernyataan 4

$$Rumus persamaan trigonometri $\cos x=\cos a$ adalah $$$x=a+2k\pi$ dan $x=-a+2k\pi$, maka pernyataan 4 salah.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa penyataan yang benar adalah pernyataan 1 dan pernyataan 3.

Pembahasan:

Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri $\cos x=\cos\alpha\degree$ digunakan aturan

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Sehingga, himpunan penyelesaian $\cos x=\cos60\degree$ adalah

$x=\left\{60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau

$x=\left\{-60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ dengan k adalah bilangan bulat

Pembahasan:

Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri $\sin x=\sin\alpha\degree$ digunakan aturan

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Sehingga, himpunan penyelesaian $\sin x=\sin25\degree$adalah

$x=\left\{25\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau

$x=\left\{\left(180-25\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

$x=\left\{155\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ dengan k adalah bilangan bulat

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\cos 3x-\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)=0$ .

Ditanya:

Salah satu nilai dari $x$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ \cos3x-\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=0$

$\leftrightarrow\ \cos3x=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)$

$\leftrightarrow\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)$ (menggunakan identitas trigonometri)

$$Dengan mengasumsikan bahwa persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+2k\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+2k\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$. Maka jika $x\$dimisalkan sebagai $\frac{\pi}{2}-3x$ dan $a$ dimisalkan sebagai $2x-\frac{2\pi}{3}$ kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$\frac{\pi}{2}-3x=2x-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\leftrightarrow-2x-3x=-\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\leftrightarrow-5x=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi$

$\leftrightarrow x=\frac{7\pi}{30}-\frac{2k\pi}{5}$

Kemungkinan 2

$$ $\frac{\pi}{2}-3x=\pi-\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)+2k\pi$

$\leftrightarrow\frac{\pi}{2}-3x=\pi-2x+\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\leftrightarrow2x-3x=\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\leftrightarrow-x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$

$\leftrightarrow x=-\frac{7\pi}{6}-2k\pi$

Sehingga dari data di atas, dapat didefinisikan bahwa nilai dari $x$ adalah: $x=\frac{7\pi}{30}-\frac{2k\pi}{5}$ dan $x=-\frac{7\pi}{6}-2k\pi$

Pembahasan:

Diketahui:

$\sin x=\sin75\degree$

$0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian $=?$

Jawab:

Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri untuk sinus dapat digunakan aturan

Dalam derajat

$\sin x=\sin\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Dalam radian

$\sin x=\sin\alpha$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha+2\pi k\right\}$ atau $x=\left\{\left(\pi-\alpha\right)+2\pi k\right\}$

Karena diketahui $0\le x\le360\degree$ maka gunakan aturan dalam derajat.

$\sin x=\sin75\degree$

Kemungkinan 1

$x=75\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=75\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=75\degree+0\degree$

$x=75\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=75\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=75\degree+360\degree$

$x=435\degree$ (tidak memenuhi interval)

Kemungkinan 2

$x=\left(180-75\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=105\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=105\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=105\degree+0\degree$

$x=105\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=105\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=105\degree+360\degree$

$x=465\degree$ (tidak memenuhi interval)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{75\degree,105\degree\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\sqrt{3}\sin \left(2A\right)\cot \left(2A\right)-\sin \left(2A\right)=0$ .

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pada interval $0\le x\le2\pi$ ?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ \sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0$

$\leftrightarrow\ \sin\left(2A\right)\left(\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1\right)=0$

Sehingga mendapat 2 hasil, yaitu:

Himpunan penyelesaian pertama

$\sin\left(2A\right)=0$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka jika $x\$dimisalkan sebagai$$ $2A$ dan $a$ dimisalkan sebagai $\pi$, kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$2A=\pi+2\pi k$

$\leftrightarrow\ 2A=2k\pi$

$\leftrightarrow\ A=k\pi$

Karena $\cot\pi$ dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Kemungkinan 2

$2A=\left(\pi-\pi\right)+2\pi k$

$\leftrightarrow\ 2A=0+2k\pi$

$\leftrightarrow\ A=k\pi$

Karena $\cot\pi$ dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Himpunan penyelesaian kedua

$\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1=0$

$\leftrightarrow\ \sqrt{3}\cot\left(2A\right)=1$

$\leftrightarrow\cot\left(2A\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\leftrightarrow\tan\left(2A\right)=\sqrt{3}$

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\tan x=\tan a$ maka didapat hasil $x=a+k\pi$:

$\leftrightarrow\ 2A=\frac{\pi}{3}+k\pi$

$\leftrightarrow\ A=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$

Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,+-1,+-2,dst.:

1. $$ $A=\frac{\pi}{6}$ (k=0)
2. $A=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$ (k=1)
3. $A=\frac{7\pi}{6}$ (k=2)
4. $A=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}$ (k=3)
5. $A=\frac{13\pi}{6}$ (k=4) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Maka dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas pada interval yang telah ditentukan adalah $\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Pembahasan:

Diketahui:

$2\sec x-1-5\cos x=0$

$0\le x\le\pi$ dan $x\ne\frac{\pi}{2}$

Ditanya:

$\cos x_1+\cos x_2=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat

Ingat bahwa $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ maka

$2\sec x-1-5\cos x=0$

$2\left(\frac{1}{\cos x}\right)-1-5\cos x=0$

Kalikan kedua ruas dengan $\cos x$

$2-\cos x-5\cos^2x=0$

$-5\cos^2x-\cos x+2=0$

Mencari nilai $\cos x_1+\cos x_2$

Rumus jumlah akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ adalah

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Sehingga,

$\cos x_1+\cos x_2=-\frac{\left(-1\right)}{\left(-5\right)}$

$\cos x_1+\cos x_2=-\frac{1}{5}$

Pembahasan:

Diketahui:

$\tan^2\theta-2\tan\theta=-1$

$0\degree\le\theta\le360\degree$

Ditanya:

Perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil $=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah dalam bentuk persamaan kuadrat

$\tan^2\theta-2\tan\theta=-1$

$\tan^2\theta-2\tan\theta+1=0$

Misalkan $x=\tan\theta$ maka

$x^2-2x+1=0$

Mencari akar persamaan kuadrat

$x^2-2x+1=0$

$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0$

$x-1=0$

$x=1$

Karena $x=\tan\theta$ maka $\tan\theta=1$

Mencari nilai $\theta$ yang memenuhi

$\tan\theta=1$

$\tan\theta=\tan45\degree$

$\tan x=\tan\alpha\degree$ memiliki kemungkinan

$x=\left\{\alpha\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\}$

sehingga

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$\theta=45\degree+0\degree$

$\theta=45\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$\theta=45\degree+180\degree$

$\theta=225\degree$

untuk $k=2$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 2\right)\degree$

$\theta=45\degree+360\degree$

$\theta=405\degree$ (tidak memenuhi)

Sehingga nilai $\theta$ yang memenuhi adalah $45\degree$ dan $225\degree$

Perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil $=225\degree:45\degree$

$=5:1$

Jadi, perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil adalah $5:1$

Pembahasan:

Diketahui:

$2\sin^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0$

Ditanya:

$x=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah menjadi persamaan kuadrat

$2\sin^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0$

Ingat kembali bahwa $\sin^2x=1-\cos^2x$ maka

$2\left(1-\cos^2\frac{x}{4}\right)-3\cos\frac{x}{4}=0$

$2-2\cos^2\frac{x}{4}-3\cos\frac{x}{4}=0$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$

$2\cos^2\frac{x}{4}+3\cos^2\frac{x}{4}-2=0$

Mencari akar-akar persamaan

$2\cos^2\frac{x}{4}+3\cos^2\frac{x}{4}-2=0$

$\left(2\cos\frac{x}{4}-1\right)\left(\cos\frac{x}{4}+2\right)=0$

$\left(2\cos\frac{x}{4}-1\right)=0$ atau $\left(\cos\frac{x}{4}+2\right)=0$

$2\cos\frac{x}{4}-1=0$

$2\cos\frac{x}{4}=1$

$\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{2}$

atau

$\cos\frac{x}{4}+2=0$

$\cos\frac{x}{4}=-2$ tidak memenuhi karena nilai cosinus berada pada $-1\le\cos x\le1$

Mencari himpunan penyelesaian

$\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{2}$

$\cos\frac{x}{4}=\cos60\degree$

Dalam menentukan penyelesaian persamaan trigonometri $\cos x=\cos\alpha\degree$ digunakan aturan

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$\frac{x}{4}=60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=240\degree+\left(1.440\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=240\degree+\left(1.440\ .\ 0\right)\degree$

$x=240\degree+0\degree$

$x=240\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=240\degree+\left(1.440\ .\ 1\right)\degree$

$x=240\degree+1.440\degree$

$x=1.680\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$\frac{x}{4}=-60\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=-240\degree+\left(1.440.\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=-240\degree+\left(1.440.\ 0\right)\degree$

$x=-240\degree+0\degree$

$x=-240\degree$ (tidak memenuhi)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=-240\degree+\left(1.440.\ 1\right)\degree$

$x=-240\degree+1.440\degree$

$x=1.200\degree$ (tidak memenuhi)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $240\degree$

Pembahasan:

Diketahui:

$7\tan2x=24$

Ditanya:

$\sin3x$?

Dijawab:

Berdasarkan soal, nilai dari $7\tan2x$ adalah 24 yang mana dapat dilihat bahwa nilai dari $\tan2x$ adalah $\frac{24}{7}$ sehingga dapat digambarkan kedalam sebuah segitiga seperti demikian:

*) Nilai setiap sisinya didapat menggunakan rumus teorema phytagoras.

Maka, dapat dilihat bahwa nilai dari $\cos2x$ adalah $\frac{7}{25}$ , dimana selanjutnya akan dilakukan penghitungan:

$\leftrightarrow\ \cos2x=\frac{7}{25}$

$\leftrightarrow\ 1-2\sin^2x=\frac{7}{25}$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-1$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=\frac{7}{25}-\frac{25}{25}$

$\leftrightarrow\ -2\sin^2x=-\frac{18}{25}$

$\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{18}{25}\cdot\frac{1}{2}$

$\leftrightarrow\ \sin^2x=\frac{9}{25}$

$\leftrightarrow\ \sin x=\frac{3}{5}$

Berikutnya dihitung nilai dari $\sin3x$ :

$=\sin\left(2x+x\right)$

$=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos x\cdot\cos x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\left(1-2\sin^2x\right)\cdot\sin x$

$=2\cdot\sin x\cdot\cos^2x+\sin x-2\sin^3x$

$=2\cdot\sin x\cdot\left(1-\sin^2x\right)+\sin x-2\sin^3x$

$=2\cdot\sin x-2\sin^3x+\sin x-2\sin^3x$

$=3\sin x-4\sin^3x$

Selanjutnya disubstitusikan nilai $\sin x$ kedalam hitungan tersebut:

$=3\cdot\frac{3}{5}-4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3$

$=\frac{9}{5}-4\cdot\frac{27}{125}$

$=\frac{9}{5}-\frac{108}{125}$

$=\frac{225}{125}-\frac{108}{125}$

$=\frac{117}{125}$