Contoh Soal

Pembahasan:

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Diketahui titik $A\left(x,y\right)$ dirotasi sejauh $-180\degree$ dengan pusat $O\left(0,0\right)$ maka

Jadi, bayangan yang dihasilkan adalah $\left(-x,-y\right)$.

Pembahasan:

Secara umum bayangan suatu titik $A\left(x,y\right)$ yang ditranslasikan olehadalah $A'\left(x',y'\right)$ dengan

$x'=x+h$

$y'=y+k$.

Berdasarkan yang diketahui pada soal, garis $7x-4y+28=0$ ditranslasi oleh .

Didapat $h=2$ dan $k=-5$, sehingga

$x'=x+2\ \Rightarrow\ x=x'-2$

$y'=y+\left(-5\right)=y-5\ \Rightarrow\ y=y'+5$

Bayangan garis $7x−4y+28=0$ adalah

$7x-4y+28=0$

$7\left(x'-2\right)-4\left(y'+5\right)+28=0$

$7x'-14-4y'-20+28=0$

$7x'-4y'-14-20+28=0$

$7x'-4y'-6=0$

Jadi bayangan garis $7x−4y+28=0$ adalah $7x-4y-6=0$

Pembahasan:

Secara umum bayangan suatu titik $A\left(x,y\right)$ yang ditranslasikan olehadalah $A'\left(x',y'\right)$ dengan

$x'=x+h$

$y'=y+k$.

Berdasarkan yang diketahui pada soal, parabola $y=x^2+10x+27$ ditranslasikan oleh .

Didapat $h=-4$ dan $k=6$, sehingga

$x'=x+(-4)=x-4\ \Rightarrow\ x=x'+4$

$y'=y+6\ \Rightarrow\ y=y'-6$

Bayangan parabola $y=x^2+10x+27$ adalah

$y'-6=(x'+4)^2+10(x'+4)+27$

$y'-6=(x')^2+8x'+16+10x'+40+27$

$y'=(x')^2+8x'+10x'+16+40+27+6$

$y'=(x')^2+18x'+89$

Jadi bayangan parabola $y=x^2+10x+27$ adalah $y=x^2+18x+89$

Pembahasan:

Diketahui:

Titik $A\left(x,y\right)$ dirotasi terhadap titik pusat $\left(-1,2\right)$ sebesar $-90\degree$

Bayangan yang dihasilkan adalah $\left(6,-4\right)$

Ditanya:

$x-2y=?$

Jawab:

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $\left(a,b\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Diketahui titik $A\left(x,y\right)$ dirotasi terhadap titik pusat $\left(-1,2\right)$ sebesar $-90\degree$dan menghasilkan bayangan $\left(6,-4\right)$ dengan $a=-1,b=2,x'=6,y'=-4,\theta=-90\degree$

Sehingga diperoleh

Artinya, $6=y-2+\left(-1\right)$ dan $-4=-x-1+2$

$6=y-2+\left(-1\right)$

$6=y-2-1$

$y=9$

$-4=-x-1+2$

$x=5$

Diperoleh

$x-2y=5-2\left(9\right)$

$=5-18$

$=-13$

Jadi, nilai $x-2y=-13$.

Pembahasan:

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang didilatasi pada pusat $\left(a,b\right)$ dengan faktor skala $k$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Diketahui $a=-2,b=3,k=3$ sehingga

Artinya

$x'=3x+4$ maka $x=\frac{x'-4}{3}$

$y'=3y-6$ maka $y=\frac{y'+6}{3}$

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan $y=x^2+3$

$y=x^2+3$

$\frac{y'+6}{3}=\left(\frac{x'-4}{3}\right)^2+3$

$\frac{y'+6}{3}=\frac{\left(x'\right)^2-8x'+16}{9}+3$

Kalikan kedua ruas dengan 9

$3y'+18=\left(x'\right)^2-8x+16+27$

$3y'=\left(x'\right)^2-8x+25$

Jadi, bayangan yang terbentuk adalah $3y=x^2-8x+25$.

Pembahasan:

Dimisalkan $\left(x',y'\right)$ merupakan bayangan titik $P\left(9,-6\right)$ oleh dilatasi pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan faktor skala $-\frac{1}{3}$. Artinya $x=9,\ y=-6,$ dan $k=-\frac{1}{3}$

Diperoleh

Dimisalkan $\left(x'',y''\right)$ merupakan bayangan titik $\left(x',y'\right)$ oleh translasi. Artinya $x'=-3,\ y'=2,\ h=4,$ dan $k=1.$

Diperoleh

Jadi bayangan titik $P$ adalah $\left(1,3\right)$

Pembahasan:

Diketahui:

Garis $y=ax+b$ digeser ke bawah 3 satuan kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$X$

Bayangan yang terbentuk adalah garis $y=-3x+4$

Ditanya:

Nilai $a^2-b=?$

Jawab:

Diketahui garis $y=ax+b$ digeser ke bawah 3 satuan maka

Kemudian garis dicerminkan terhadap sumbu-$X$maka

Artinya

$x''=x$

$y''=-y+3$ maka $y=-y''+3$

Selanjutnya, substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan $y=ax+b$

$y=ax+b$

$-y''+3=ax''+b$

$y''=-ax''-b+3$

Diketahui hasil bayangan adalah $y=-3x+4$

Sehingga diperoleh

$a=3$ dan $-b+3=4$

$-b+3=4$

$b=3-4$

$b=-1$

Selanjutnya mencari nilai $a^2-b$

$a^2-b=3^2-\left(-1\right)$

$=9+1$

$=10$

Jadi, nilai $a^2-b=10$.

Pembahasan:

Secara umum, bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dicerminkan (direfleksikan) terhadap garis $y=-x$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Dimisalkan $\left(x,y\right)$ merupakan titik pada garis $3x-2y-6=0$ dan $\left(x',y'\right)$ merupakan bayangan titik $\left(x,y\right)$ oleh pencerminan (refleksi) terhadap garis $y=-x$.

Diperoleh

Artinya

$x'=-y\ \Rightarrow\ y=-x'$ dan

$y'=-x\ \Rightarrow\ x=-y'$

Didapat persamaan bayangan garis $3x-2y-6=0$ adalah

$3x-2y-6=0$

$3(-y')-2(-x')-6=0$

$-3y'+2x'-6=0$

$2x'-3y'-6=0$

Jadi persamaan bayangan garis $3x-2y-6=0$ adalah

$2x-3y-6=0$

Pembahasan:

Secara umum, bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dicerminkan (direfleksikan) terhadap sumbu-$X$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Dimisalkan $\left(x,y\right)$ merupakan titik pada parabola tersebut dan $\left(x',y'\right)$ merupakan bayangan titik $\left(x,y\right)$ oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$

Diperoleh

Artinya $x'=x$ dan $y'=-y$

Karena parabola $y=3x^2-2x-5$ merupakan bayangan, sehingga dapat ditulis menjadi

$y'=3\left(x'\right)^2-2x'-5$

sehingga didapat

$y'=3\left(x'\right)^2-2x'-5$

$-y=3\left(x\right)^2-2x-5$

$y=-3x^2+2x+5$

Jadi persamaan parabola sebelum dicerminkan adalah $y=-3x^2+2x+5$

Pembahasan:

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang didilatasi pada pusat $P\left(a,b\right)$ dengan faktor skala $k$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Berdasarkan yang diketahui di soal diperoleh $x=3,y=5,x'=-1,y=-1,a=1,$ dan $b=2$ sehingga

Diperoleh $2k+1=-1$ dan $3k+2=-1$

$2k+1=-1$

$2k=-1-1$

$2k=-2$

$k=-1$

atau

$3k+2=-1$

$3k=-1-2$

$3k=-3$

$k=-1$

Dari kedua persamaan diperoleh $k=-1$

Jadi, nilai $k$ adalah -1.