Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{-2x+8}{6x-1}\ge0$ . . . (*)

Ditanya:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

$\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>,$ atau $\frac{ax+b}{cx+d}\ge n$

dengan $a,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n$ merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*), didapat

$\frac{-2x+8}{6x-1}=0$ . . . (**)

Untuk pembilang diperoleh

$-2x+8=0$

$\Leftrightarrow8=2x$

$\Leftrightarrow\frac{8}{2}=x$

$\Leftrightarrow4=x$

Untuk penyebut diperoleh

$6x-1=0$

$\Leftrightarrow6x=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$

Karena $x=\frac{1}{6}$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=\frac{1}{6}$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Untuk $x<\frac{1}{6}$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.0+8}{6.0-1}=\frac{0+8}{0-1}=\frac{8}{-1}=-8<0$ (bernilai negatif).

Untuk $\frac{1}{6}<x<4$, diambil sebagai sampel $x=1$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.1+8}{6.1-1}=\frac{-2+8}{6-1}=\frac{6}{5}>0$ (bernilai positif).

Untuk $x>4$, diambil sebagai sampel $x=5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.5+8}{6.5-1}=\frac{-10+8}{30-1}=\frac{-2}{29}<0$ (bernilai negatif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $\ge$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif.

Karena pertidaksamaan (*) memuat sama dengan, maka $x=4$ memenuhi pertidaksamaan (*). Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $\left\{x\mid\frac{1}{6}<x\le4\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x+2}{x}\le\frac{x+3}{x-2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x+2}{x}\le\frac{x+3}{x-2}$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x+2}{x}-\frac{x+3}{x-2}\le0$

⇔ $\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)-\left(x+3\right)\left(x\right)}{x\left(x-2\right)}\le0$

⇔ $\frac{x^2-4-x^2-3x}{x\left(x-2\right)}\le0$

⇔ $\frac{-4-3x}{x\left(x-2\right)}\le0$

⇔ $\frac{3x+4}{x\left(x-2\right)}\ge0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), diketahui $f\left(x\right)=3x+4$ dan $g\left(x\right)=x\left(x-2\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $3x+4=0$

⇔ $x=-\frac{4}{3}$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x\left(x-2\right)=0$

⇔ $x=0$ atau $x=2$

Totalnya, ada tiga nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut. Nilai di setiap rentang dimasukkan ke pertidaksamaan (2)

Karena tanda pertidaksamaan adalah $>$, kita cari hasil yang positif.

Pembuktian:

Misalkan pada $-\frac{4}{3}\le x<0$, kita ambil nilai $x=-1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{3\cdot\left(-1\right)+4}{\left(-1\right)\left(-1-2\right)}\ge0$

⇔ $\frac{-3+4}{\left(-1\right)\left(-3\right)}\ge0$

⇔ $\frac{1}{3}\ge0$ ... (3)

Karena hasil di ruas kiri positif, berarti rentang tersebut memang benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, karena pernyataan (3) sesuai, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi di rentang ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi pertidaksamaan adalah $-\frac{4}{3}\le x<0$ atau $x>2$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-5x-6}{x^2+x+1}<0$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x^2-5x-6}{x^2+x+1}<0$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-5x-6$ dan $g\left(x\right)=x^2+x+1$.

Kita dapat mencari pembuat nol di kedua fungsi tersebut.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-5x-6=0$

⇔ $\left(x-6\right)\left(x+1\right)=0$

$x-6=0$ ⇔ $x=6$ atau

$x+1=0$ ⇔ $x=-1$

$g\left(x\right)=0$

$x^2+x+1=0$

Persamaan ini tidak bisa difaktorkan menggunakan cara biasa. Kita cek terlebih dahulu diskriminannya dengan $D=b^2-4ac$ dengan $a=1,\ b=1,\ c=1$.

$D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$

Karena diskriminannya negatif, tidak ada nilai pembuat nol atau akar riil yang memenuhi di fungsi $g\left(x\right)$.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut. Nilainya dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-1<x<6$, ambil $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\frac{0^2-5\cdot0-6}{0^2+0+1}<0$

⇔ $-\frac{6}{1}<0$

⇔ $-6<0$ ... (2)

Ruas kiri bernilai negatif. Dengan demikian, rentang tersebut benar menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (2) benar sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah $-1<x<6$.

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}\le2x-1$

Ditanya:

Penyelesaian rentang nilai $x$?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}\le2x-1$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{8x^2-3x+10}{5x-2}-\left(2x-1\right)\le0$

Samakan penyebut:

⇔ $\frac{8x^2-3x+10-\left(2x-1\right)\left(5x-2\right)}{5x-2}\le0$

⇔ $\frac{8x^2-3x+10-\left(10x^2-9x+2\right)}{5x-2}\le0$

⇔ $\frac{-2x^2+6x+8}{5x-2}\le0$

Bagi kedua ruas dengan -2:

⇔ $\frac{x^2-3x-4}{5x-2}\ge0$ ... (2) (tanda dibalik karena perkalian dengan bilangan negatif)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=x^2-3x-4$ dan $g\left(x\right)=5x-2$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-3x-4=0$

⇔ $\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$

$x-4=0$ ⇔ $x=4$ atau

$x+1=0$ ⇔ $x=-1$

$g\left(x\right)=0$

$5x-2=0$ ⇔ $x=\frac{2}{5}$

Ada tiga nilai $x\$pembuat nol. Tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut.

Perhatikan di atas bahwa $\frac{2}{5}$ tidak memiliki tanda sama dengan. Hal ini karena letaknya di penyebut sehingga tidak boleh nol. Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (2) memiliki tanda $\ge$ sehingga yang kita ambil adalah daerah yang positif.

Pembuktian:

Untuk rentang $x\ge4$, kita masukkan $x=5$ ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{\left(5-4\right)\left(5+1\right)}{5\cdot5-2}\ge0$

⇔ $\frac{\left(1\right)\left(6\right)}{25-2}\ge0$

⇔ $\frac{6}{23}\ge0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai positif. Dengan demikian, rentang ini memang menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, jawabannya adalah $-1\ \le x\ <\ -\frac{2}{5}$ atau $x\ge4$.

Pembahasan:

Diketahui:

Grafik fungsi $h(x)=\frac{x^2-2x-35}{x-4}$ terletak di atas sumbu $X$

Ditanya:

Batasan nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui fungsi $h$ terletak di atas sumbu $X$ atau garis $y=0$. Artinya $h\left(x\right)>0$. Diperoleh

$h\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-2x-35}{x-4}>0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear-kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{ax^2+bx+x}{px+q}\le n$ atau $\frac{px+q}{ax^2+bx+x}\le n$

dengan $a,\ b,\ c,\ p,\ q,$ dan $n$ merupakan konstanta. Tanda pertidaksamaan $\le$ dapat juga berbentuk $<,\ \ge,$ atau $>$

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2-2x-35}{x-4}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2-2x-35=0$  . . . (**)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-2$ dan $pq=-35$ adalah $p=-7$ dan $q=5$

Akibatnya persamaan (**) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(x+5\right)=0$

Artinya

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ atau

$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$

Untuk penyebut diperoleh

$x-4=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Karena $x=4$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=4$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol yang diperoleh, pertidaksamaan (*) dapat ditulis menjadi

$\frac{\left(x-7\right)\left(x+5\right)}{x-4}>0$  . . . (***)

Diperhatikan tabel yang menunjukkan tanda nilai yang diperoleh pada batasan/interval yang ada.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (***) memiliki tanda $>$ artinya yang diminta adalah hasil dengan tanda positif dan $x=7,\ x=-5$ bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperoleh

Jadi batasan nilai $x$ yang memenuhi adalah $-5<x<4$ atau $x>7$

Pembahasan:

Diketahui:

$R_1=20$

$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}<15$

Ditanya:

Batas nilai $R_2$ ?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{20R_2}{20+R_2}<15$ ... (1)

sehingga kita dapat lakukan langkah-langkah seperti di atas.

$\frac{20R_2}{20+R_2}-15<0$

⇔ $\frac{20R_2-15\left(20+R_2\right)}{20+R_2}<0$

⇔ $\frac{20R_2-300-15R_2}{20+R_2}<0$

⇔ $\frac{5R_2-300}{R_2+20}<0$ ... (2)

Dari sini, $f\left(R_2\right)=5R_2-300,\ g\left(R_2\right)=R_2+20$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(R_2\right)=0$

$5R_2-300=0$ ⇔ $R_2=60$

$g\left(R_2\right)=0$

$R_2+20=0$ ⇔ $R_2=-20$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-20<R_2<60$, kita ambil $R_2=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{5\cdot0-300}{0+20}<0$

⇔ $\frac{-300}{20}<0$

⇔ $-15<0$ ... (3)

Ruas kiri negatif. Dengan demikian, rentang tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Karena hambatan tidak mungkin negatif atau sama dengan nol, jadi solusinya adalah $0<R_2<60$.

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $x+2>\sqrt{10-x^2}$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang merupakan memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$x+2>\sqrt{10-x^2}$... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=10-x^2$

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $g\left(x\right)$

$g\left(x\right)\ge0$

⇔ $10-x^2\ \ge0$

⇔ $x^2-10\le0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-10=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x$ dan $b=\pm\sqrt{10}$. Diperoleh

$x^2-10=0$

⇔ $\left(x+\sqrt{10}\right)\left(x-\sqrt{10}\right)=0\$ ... (3)

$x+\sqrt{10}=0\$ ⇔ $x=-\sqrt{10}$ atau

$x-\sqrt{10}=0$ ⇔ $x=\sqrt{10}$

Pembuat nolnya adalah $\sqrt{10}$ dan $-\sqrt{10}$ dengan $-\sqrt{10}\ <\ \sqrt{10}$. Tanda pertidaksamaan adalah $\le$ sehingga penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $-\sqrt{10}\le\ x\ \le\ \sqrt{10}$ (*)

Syarat lain yang perlu diselesaikan adalah $f\left(x\right)\ge0$.

$x+2\ge0$ ⇔ $x\ge-2$ ... (**)

Setelah menyelesaikan tahap syarat akar, kita kuadratkan kedua ruas di pertidaksamaan awal, lalu mencari penyelesaiannya.

$\left(x+2\right)^2>\left(\sqrt{10-x^2}\right)^2$

⇔ $\left(x+2\right)^2>10-x^2$

⇔ $x^2+4x+4>10-x^2$

⇔ $2x^2+4x-6>0$

Bagi kedua ruas dengan 2:

⇔ $x^2+2x-3>0$

⇔ $\left(x+3\right)\left(x-1\right)>0$

Pembuat nolnya adalah

$x+3=0\ ⇔\ x=-3$ atau

$x-1=0\ ⇔\ x=1$.

Dari hasilnya, $-3\ <\ 1$. Tanda pertidaksamaan adalah $>$ sehingga $x<-3$ atau $x\ >\ 1$. (***)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*), (**), dan (***). Solusinya ditunjukkan dengan daerah yang beririsan di garis bilangan berikut, ditunjukkan dengan dua warna yang beririsan.

Jadi, batasan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $1<\ x\ \le\sqrt{10}$.

Pembuktian:

Untuk $1<x\le\sqrt{10}$, kita gunakan $x=3$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $3+2>\sqrt{10-3^2}$

⇔ $5>\sqrt{10-9}$

⇔ $5>\sqrt{1}$

⇔ $5>1$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Jadi, solusi terbukti memenuhi pertidaksamaan.

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}$

Ditanya:

Solusi dari pertidaksamaan

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}$ ... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=x-2$.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)\ge0$

$x+2\ge0$ ⇔ $x\ge-2$ (*)

$g\left(x\right)\ge0$

$x-2\ge0$ ⇔ $x\ge2$ (**)

Sekarang, kita kuadratkan pertidaksamaan (1).

$\left(\sqrt{x+2}\right)^2>\left(\sqrt{x-2}\right)^2$

⇔ $x+2>x-2$ ... (2)

Untuk berapa pun nilai $x$ riil, pertidaksamaan di atas akan selalu benar. Jadi, solusi dari pertidaksamaan (2) adalah $x\in\Re$ (***).

Solusi pertidaksamaan (1) adalah irisan dari solusi (*), (**), dan (***).

Jadi, jawabannya adalah $x\ge2$.

Pembuktian:

Untuk $x\ge2$, kita gunakan $x=3$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1)

⇔ $\sqrt{3+2}>\sqrt{3-2}$

⇔ $\sqrt{5}>\sqrt{1}$

⇔ $\sqrt{5}>1$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.

Pembahasan:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional $\sqrt{3x+12}>0$, artinya $f\left(x\right)=3x+12$ dan $g\left(x\right)=0$

Akan dicari syarat akarnya, diperoleh

$f\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow3x+12\ge0$

$\Leftrightarrow3x\ge-12$

$\Leftrightarrow x\ge\frac{-12}{3}$

$\Leftrightarrow x\ge-4$

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{3x+12}\right)^2>0^2$

$\Leftrightarrow3x+12>0$

$\Leftrightarrow3x>-12$

$\Leftrightarrow x>\frac{-12}{3}$

$\Leftrightarrow x>-4$

Solusi pertidaksamaan yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi $x\ge-4$ dan $x>-4$, yaitu $x>-4$

Pembahasan:

Secara umum, jika diberikan grafik $y=ax^2+bx+c$ dengan diskriminan $D=b^2-4ac<0$ akan terdapat dua kondisi, yaitu:

1. Definit Positif, terjadi ketika $D<0$ dan $a>0$, atau secara geometris berada di atas sumbu $X$.
2. Definit Negatif, terjadi ketika $D<0$ dan $a<0$, atau secara geometris berada di bawah sumbu $X$.

Pada soal diketahui fungsi $y=-x^2-5x+p$ berada di bawah sumbu $X$, maka $a=-1,\ b=-5,\ c=p.$ Dan memenuhi definit negatif yaitu $a<0$ dan $D<0$. Diperoleh

$b^2-4ac<0$

$\Leftrightarrow\left(-5\right)^2-4.\left(-1\right).p<0$

$\Leftrightarrow25+4.p<0$

$\Leftrightarrow4.p<-25$

$\Leftrightarrow p<\frac{-25}{4}$

$\Leftrightarrow p<-\frac{25}{4}$