Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f^{-1}$ dan $g^{-1}$ masing-masing adalah invers dari fungsi $f$ dan $g$. DIketahui pula $g\left(x\right)=x-4$ dan $\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)=\frac{x-4}{2}$.

Ditanya:

Fungsi $f\left(x\right)=?$

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Berdasarkan sifat invers komposisi, diperoleh

$\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)=\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)$

Dimisalkan $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=y$, sehingga $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(y\right)=x$.

Diperoleh

$\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(y\right)=\left(g\circ f\right)^{-1}\left(y\right)$

$\Leftrightarrow\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(y\right)=x$

$\Leftrightarrow\frac{y-4}{2}=x$

$\Leftrightarrow y-4=2x$

$\Leftrightarrow y=2x+4$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2x+4$

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi, diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ didapat

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-4$

$\Leftrightarrow2x+4=f\left(x\right)-4$

$\Leftrightarrow2x+4+4=f\left(x\right)$

$\Leftrightarrow2x+8=f\left(x\right)$