Diketahui:

Pola barisan geometri.

Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya.

Permulaan terdapat 5 bakteri,

Ditanya:

Waktu ketika jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri$=?$

Jawab:

Rumus barisan geometri adalah

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

dimana :

• $U_n$ adalah suku ke-n
• $a$ menyatakan suku pertama
• $r$ menyatakan rasio
• $n$ menyatakan banyaknya suku

Pada soal terdapat beberapa pernyataan berikut:

"Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya".

Dari pernyataan tersebut dapat kita simpulkan perbandingan jumlah bakteri setelah berkembang biak setiap satu detik dan sebelumnya $=\frac{2}{1}=2$ . Maka, $r=2$

"Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri"

Dari pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama atau $a=5$

"Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri."

Pernyataan di atas bermakna : Suku ke-n $\left(U_n\right)=320$

Dengan demikian diperoleh:

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

$320=5\times2^{\left(n-1\right)}$

$\frac{320}{5}=2^{\left(n-1\right)}$

$64=2^{\left(n-1\right)}$

$2^5=2^{\left(n-1\right)}$

Berdasarkan sifat jika $a^m=a^n$ maka $m=n$ diperoleh

$5=n-1$

$5+1=n$

$6=n$

Jadi, jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah 6 detik.

Diketahui:

Deret geometri

$U_3=8$

$U_6=64$

Ditanya:

Jumlah 5 suku pertama = $S_5$ = ?

Jawab:

1) Cari rasio dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan/deret geometri

$U_n=ar^{n-1}$

$U_3=ar^{3-1}$ $\Rightarrow$ $8=ar^2$

$U_6=ar^{6-1}$ $\Rightarrow$ $64=ar^5$

Untuk mencari r (rasio), bisa kita bandingkan $U_6$ dan $U_3$

$\frac{U_6}{U_3}=\frac{64}{8}=\frac{ar^5}{ar^2}$

$8=r^3$

$r=2$

2) Cari nilai $a$

$8=ar^2$

$8=a2^2$

$8=a.4$

$a=2$

3) Cari jumlah 5 suku pertama deret tersebut

$S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$

$S_5=\frac{2\left(2^5-1\right)}{2-1}$

$S_5=\frac{2\left(32-1\right)}{1}$

$S_5=\frac{2\left(31\right)}{1}$

$S_5=62$

Diketahui:

Barisan geometri 3, 9, 27, ...

Ditanya:

Suku ke-5$=?$

Jawab:

Rumus umum nilai suku ke-n barisan geometri adalah

$U_n=ar^{n-1}$

di mana:

$Un=$ nilai suku ke-n

$a=$ suku pertama

$r=$ rasio

$n=$ suku ke-n

Pada soal didapatkan $a=3,\ r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{9}{3}=3$ dan $n=5$

Sehingga suku ke-5 adalah,

$U_5=3.3^{5-1}$

$U_5=3.3^4$

$U_5=3\times81$

$U_5=243$

Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243.

Diketahui:

Barisan geometri

$U_5=6$

$U_9=24$

Ditanya:

Suku ke-4$=?$

Jawab:

Rumus barisan geometri adalah

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

dimana :

• $U_n$ adalah suku ke-n
• $a$ menyatakan suku pertama
• $r$ menyatakan rasio
• $n$ menyatakan banyaknya suku

Sehingga didapatkan

Untuk $U_5$

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

$U_5=ar^{5-1}$

$6=ar^4$ (Persamaan 1)

Untuk $U_9$

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

$U_9=ar^{\left(9-1\right)}$

$U_9=ar^8$

$24=ar^8$

$24=ar^4\times r^4$ (Persamaan 2)

Mencari nilai rasio atau $r$

Dari persamaan (1) disubtitusi ke persamaan (2), maka

$24=6\times r^4$

$\frac{24}{6}=r^4$

$4=r^4$

$r^4=4$ (nilai $r^4$ )

$r=\ ^4\sqrt{4}$

$r=4^{\frac{1}{4}}$

$r=2^{2\times\frac{1}{4}}$

$r=2^{\frac{1}{2}}$

$r=\sqrt{2}$ (nilai $r$)

Mencari nilai suku pertama atau $a$

Masukkan nilai $r^4$ pada $U_5$

$U_5=ar^{\left(5-1\right)}$

$6=ar^4$

$6=a\times4$

$a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Mencari nilai suku ke-4

Sehingga suku ke-4 diperoleh:

$U_4=ar^{\left(4-1\right)}$

$U_4=ar^{\left(3\right)}$

$U_4=\frac{3}{2}\times\left(\sqrt{2}\right)^{\left(3\right)}$

$U_4=\frac{3}{2}\times\left(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\right)^{ }$

$U_4=\frac{3}{2}\times\left(2\times\sqrt{2}\right)^{ }$

$U_4=3\times\sqrt{2}^{ }$

$U_4=3\sqrt{2}^{ }$

Jadi, suku ke-4 pada barisan tersebut adalah $3\sqrt{2}.$

Diketahui:

Barisan geometri 1, 4, 16, 64, …

Ditanya:

Suku ke-7$=?$

Jawab:

Rumus umum nilai suku ke-n barisan geometri adalah

$U_n=ar^{n-1}$

di mana:

$Un=$ nilai suku ke-n

$a=$ suku pertama

$r=$ rasio

$n=$ suku ke-n

Pada soal didapatkan $a=1,\ r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{4}{1}=4$ dan $n=7$

Sehingga suku ke-7 adalah,

$U_7=1.4^{7-1}$

$U_7=1.4^6$

$U_7=1\times4.096$

$U_7=4.096$

Jadi, suku ke-7 dari barisan geometri adalah 4.096.

Diketahui:

Harga mobil Rp. 50.000.000,00

Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\frac{2}{5}$ dari harga sebelumnya.

Ditanya:

Nilai jual setelah dipakai 2 tahun$=?$

Jawab:

Rumus barisan geometri adalah

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

dimana :

$U_n$ adalah suku ke-n

$a$ menyatakan suku pertama

$r$ menyatakan rasio

$n$ menyatakan banyaknya suku

Kata kunci dalam soal ini adalah

“Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\frac{2}{5}$ dari harga sebelumnya”,

Ini artinya rasionya $=r=\frac{2}{5}$

"Harga mobil Rp50.000.000,00"

Ini artinya suku pertama $=a=$ 50.000.000

Dengan demikian nilai jual selama 2 tahun adalah

$U_n=ar^{\left(n-1\right)}$

$U_2=50.000.000\times\frac{2}{5}^{\left(2-1\right)}$

$U_2=50.000.000\times\left(\frac{2}{5}\right)^1$

$U_2=50.000.000\times\frac{2}{5}$

$U_2=20.000.000$

Jadi, nilai jual mobil setelah dipakai 2 tahun adalah Rp20.000.000,00.

Pembelahan bakteri mengikuti deret geometri, maka digunakan rumus:

Un = $a\left(r^{n-1}\right)$

dengan

Un = jumlah bakteri pada suku ke-n = 14.580

a = jumlah bakteri mula-mula = 20

r = rasio (jumlah pembelahan bakteri tiap waktu tertentu) = 3

Maka,

Un = $a\left(r^{n-1}\right)\$

14.580 = $20\left(3^{n-1}\right)\$

$\frac{14.580}{20}=\left(3^{n-1}\right)\$

$729=\left(3^{n-1}\right)\$

$3^6=\left(3^{n-1}\right)\$

$6=n-1$

$n=6+1$

n = 7

Kita perhatikan bahwa untuk pembelahan bakteri, pola yang terbentuk adalah:

a = U₁

Pembelahan pertama = U₂

Pembelahan kedua = U₃

Maka, U₇ adalah pembelahan keenam

Di soal yang ditanyakan adalah bakteri yang membelah diri menjadi tiga setiap 26 menit, yang berarti 2 kali lebih lama daripada bakeri yang diketahui di soal. Maka, pembelahan yang ditanyakan adalah:

Pembelahan keenam dibagi dua = pembelahan ketiga (U₄)

$Un=a\left(r^{n-1}\right)$

U₄ = $20\left(3^{4-1}\right)$

U₄ = 20 (3³)

U₄ = 20. 27

U₄ = 540

Jadi, banyaknya bakteri setelah waktu t adalah 540 bakteri

Rasio pada barisan geometri dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

r = $\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=\ ...\ =\frac{U_n}{U_{n-1}}$

Maka,

r = $$ $\frac{-9}{27}$ = $-\frac{1}{3}$

Soal ini dapat diselesaikan dengan salah satu sifat dasar deret geometri, yaitu jika a, b, c adalah tiga bilangan berurutan dari barisan geometri, maka berlaku:

$b^2=a\times c$

Di soal diketahui $U_1=18$, $U_3=2$, dan ditanyakan $U_2$. Kita bisa gunakan sifat di atas

$U_2^2$ = $U_1\times U_3$

$U_2^2=18\times2$

$U_2^2=36$

$U_2=\sqrt{36}$

$U_2=6$

Barisan geometri 4, 12, 36, ...

Rumus umum nilai suku ke-n barisan geometri adalah

$U_n=ar^{n-1}$

di mana:

$Un=$ nilai suku ke-n

$a=$ suku pertama = 4

$r=$ rasio = $\frac{U_2}{U_1}$ = $\frac{12}{4}=3$

$n=$ suku ke-n = 6

Suku ke 6 =

$U_6=4.3^{6-1}$

$U_6=4.3^5$

$U_6=4.243$

$U_6=972$