Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$\cos2x-5\cos x-2=0$

$\pi\le x\le\frac{3\pi}{2}$

Ditanya:

$x=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat

Ingat bahwa $\cos2x=2\cos^2x-1$ sehingga

$\cos2x-5\cos x-2=0$

$2\cos^2x-1-5\cos x-2=0$

$2\cos^2x-5\cos x-3=0$

Misalkan $y=\cos x$ maka

$2y^2-5y-3=0$

Mencari akar-akar persamaan kuadrat

$2y^2-5y-3=0$

$\left(2y+1\right)\left(y-3\right)=0$

$\left(2y+1\right)=0$ atau $\left(y-3\right)=0$

$2y+1=0$

$2y=-1$

$y=-\frac{1}{2}$

atau

$y-3=0$

$y=3$

Mencari nilai $x$ yang memenuhi

Karena $y=\cos x$ maka $\cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$. Interval nilai $\cos x$ adalah $-1\le\cos x\le1$ sehingga $\cos x=3$ tidak memenuhi.

Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}$

$\cos x=-\frac{1}{2}$

$\cos x=\cos\frac{2\pi}{3}$

$\cos x=\cos\alpha$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha+2\pi k\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha+2\pi k\right\}$

Kemungkinan 1

$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\left(0\right)$

$x=\frac{2\pi}{3}+0$

$x=\frac{2\pi}{3}$ (tidak memenuhi interval)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi\left(1\right)$

$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi$

$x=\frac{8\pi}{3}$ (tidak memenuhi interval)

Kemungkinan 2

$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\left(0\right)$

$x=-\frac{2\pi}{3}+0$

$x=-\frac{2\pi}{3}$ (tidak memenuhi interval)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\left(1\right)$

$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi$

$x=\frac{4\pi}{3}$

untuk $k=2$ diperoleh

$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\left(2\right)$

$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi$

$x=\frac{10\pi}{3}$(tidak memenuhi)

Sehingga nilai $x$ adalah $x=\frac{4\pi}{3}$

Mencari nilai $\sin x$

$\sin x=\sin\frac{4\pi}{3}$

$\sin x=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$