Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Pada soal diketahui pertidaksamaan $(x^2-8x+16)\left(x-4\right)\le0$ . . .(*)

Pertidaksamaan tersebut pertidaksamaan pangkat tiga (perkalian antara bentuk kuadrat dengan bentuk linear). Penyelesaian pertidaksamaan tersebut serupa dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yaitu:

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol pertidaksamaan tersebut adalah

$(x^2-8x+16)\left(x-4\right)=0$ . . . (1)

Artinya $x^2-8x+16=0$ atau $x-4=0$

Untuk $x^2-8x+16=0$ . . . (2)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-8$ dan $pq=16$ adalah $p=-4$ dan $q=-4$

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0$ . . . (3)

Berdasarkan persamaan (3), persamaan (1) dapat diubah menjadi

$\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0$ . . . (4)

Artinya

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$ atau

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$ atau

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$

Karena $4=4$, hanya terdapat satu batas, yaitu $x=4$

Untuk $x<4$, diambil sebagai sampel $x=3$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh

$\left(3-4\right)\left(3-4\right)\left(3-4\right)=\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=-1<0$ (bernilai negatif).

Untuk $x>4$, diambil sebagai sampel $x=5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh

$\left(5-4\right)\left(5-4\right)\left(5-4\right)=1.1.1=1>0$ (bernilai positif).

Pengecekan dua kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $\le$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena pertidaksamaan (*) memuat sama dengan, maka $x=4$ memenuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\{x\mid x\le 4\}$