Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=x-1$, $g\left(x\right)=1-x^2$, dan $h\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$, serta komposisi fungsi $\left(h\circ g\circ f\right)\left(a\right)=-1$.

Ditanya:

Nilai $a$ ?

Jawab:

Definisi komposisi tiga fungsi sebagai berikut:

Diberikan fungsi $f,\ g$, dan $h$. Komposisi fungsi $f,\ g,$ dan $h$ dinotasikan dengan $f\circ g\circ h$ didefinisikan sebagai

$\left(f\circ g\circ h\right)\left(x\right)=f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $h$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $g$, dan hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Berdasarkan definisi komposisi fungsi diperoleh

$\left(h\circ g\circ f\right)\left(a\right)=h\left(g\left(f\left(a\right)\right)\right)$

Diketahui $\left(h\circ g\circ f\right)\left(a\right)=-1$ maka

$-1=h\left(g\left(f\left(a\right)\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$-1=h\left(g\left(a-1\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$-1=h\left(1-\left(a-1\right)^2\right)$

$\Leftrightarrow-1=h\left(1-\left(a^2-2a+1\right)\right)$

$\Leftrightarrow-1=h\left(1-a^2+2a-1\right)$

$\Leftrightarrow-1=h\left(1-1+2a-a^2\right)$

$\Leftrightarrow-1=h\left(2a-a^2\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $h$ diperoleh

$-1=\frac{2a-a^2+1}{2a-a^2-1}$

$\Leftrightarrow-1\left(2a-a^2-1\right)=2a-a^2+1$

$\Leftrightarrow-2a+a^2+1=2a-a^2+1$

$\Leftrightarrow-2a+a^2+1-2a+a^2-1=0$

$\Leftrightarrow a^2+a^2-2a-2a+1-1=0$

$\Leftrightarrow2a^2-4a=0$

$\Leftrightarrow2a\left(a-2\right)=0$

Artinya

$2a=0\Leftrightarrow a=0$

atau

$a-2=0\Leftrightarrow a=2$

Jadi nilai $a$ yang sesuai adalah 0 atau 2.