Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}\ge0$ . . . (*)

Ditanya:

Interval solusi pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat pada pemfaktoran: untuk sembarang bentuk kuadrat $x^2-a^2$ berlaku $x^2-a^2=\left(x-a\right)\left(x+a\right)$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2-25=0$ berdasarkan sifat pada pemfaktoran didapat

$\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0$

Artinya

$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$  atau

$x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Untuk penyebut diperoleh

$x^2+4x+3=0$

nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=4$ dan $pq=3$ adalah $p=1$ dan $q=3$. Didapat

$x^2+4x+3=0$

$\Leftrightarrow \left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0$

Artinya

$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$  atau

$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$

Karena $x=-1, x=-3$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=-1,\ x=-3$  tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$-5<-3<-1<5$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\ge0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $\ge$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai positif dan $x=-5,\ x=5$ merupakan penyelesaian (sebab memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x\le-5$, maka $x-5$ selalu negatif, $x+5$ selalu negatif, $x+1$ selalu negatif, dan $x+3$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan kedua, untuk $-5\le x<-3$, maka $x-5$ selalu negatif, $x+5$ selalu positif, $x+1$ selalu negatif, dan $x+3$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan ketiga, untuk $-3<x<-1$, maka $x-5$ selalu negatif, $x+5$ selalu positif, $x+1$ selalu negatif, dan $x+3$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan keempat, untuk $-1<x\le5$ , maka $x-5$ selalu negatif, $x+5$ selalu positif, $x+1$ selalu positif, dan $x+3$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan kelima, untuk $x\ge5$, maka $x-5$ selalu positif, $x+5$ selalu positif, $x+1$ selalu positif, dan $x+3$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-25}{x^2+4x+3}=\left(\text{positif}\right)$

Diperoleh ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai positif ketika $x\le-5$ atau $-3<x<-1$ atau $x\ge5$ . Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan berada pada interval

$\left(-\infty,\ -5\right]\cup\left(-3,\ -1\right)\cup\left[5,\ \infty\right)$