Bank Soal Matematika SMA Grafik Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=p\ \sin x+q$ dengan $p<0$

Nilai maksimum $=10$

Nilai minimum $=-2$

Ditanya:

Nilai $p+q=?$

Dijawab:

$f\left(x\right)=p\ \sin x+q$

Ingat bahwa range dari fungsi sinus $y=\sin\theta$ adalah interval tertutup $-1\le y\le1$ yang berarti:

$-1\le\sin\theta\le1$, untuk semua nilai $\theta$,

• Nilai maksimum $y=\sin\theta$ adalah $1$
• Nilai minimum $y=\sin\theta$ adalah $-1$

Untuk $\sin x=-1$, karena $p<0$ artinya nilai $p$ bernilai negatif dan $\sin x=-1$ sehingga $p\ \sin x$ bernilai positif.

Untuk $\sin x=1$, karena $p<0$ artinya nilai $p$ bernilai negatif dan $\sin x=1$ sehingga $p\ \sin x$ bernilai negatif.

Jika dibandingan nilai dari $f\left(x\right)=p\ \sin x+q,$ dengan $q$ sembarang nilai maka untuk $\sin x=-1$ akan bernilai lebih besar dibandingkan dengan untuk $\sin x=1$ sehingga:

• Untuk $\sin x=-1$, $f\left(x\right)$ akan bernilai maksimum
• Untuk $\sin x=1$, $f\left(x\right)$ akan bernilai minimum

Dengan demikian:

Untuk $\sin x=-1$, $f\left(x\right)$ akan bernilai maksimum dan didapatkan:

$p\left(-1\right)+q=10$

$\Leftrightarrow-p+q=10$

$\Leftrightarrow p=q-10\ \ \ \ \ \ \ \ ....\left(1\right)$

Untuk $\sin x=1$, $f\left(x\right)$ akan bernilai minimum dan didapatkan:

$p\left(1\right)+q=-2$

$\Leftrightarrow p+q=-2\ \ \ \ \ \ \ \ ....\left(2\right)$

Substitusikan Persamaan $\left(1\right)$ ke $\left(2\right)$ dan didapatkan:

$p+q=-2$

$\Leftrightarrow\left(q-10\right)+q=-2$

$\Leftrightarrow2q-10=-2$

$\Leftrightarrow2q=-2+10$

$\Leftrightarrow2q=8$

$\Leftrightarrow q=4$

Substitusikan $q=4$ ke Persamaan $\left(1\right)$ dan didapatkan:

$p+q=-2$

$\Leftrightarrow p+\left(4\right)=-2$

$\Leftrightarrow p=-2-4$

$\Leftrightarrow p=-6$

Sehingga nilai $p+q=-6+4=-2$

Jadi, nilai $p+q$ adalah $-2$.