Bank Soal Matematika SMA Fungsi Trigonometri dan Bilangan Real

Diketahui:

$f\left(\alpha\right)=\sin\alpha+1$

Ditanya:

$f\left(\frac{\pi}{3}\right)+f\left(\frac{4}{3}\pi\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)=?$

Dijawab:

Pertama sudut $\frac{\pi}{3},\ \frac{4}{3}\pi,\ \frac{\pi}{2}$ diubah terlebih dahulu ke dalam ukuran derajat.

Pengubahan ukuran radian ke dalam ukuran derajat adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

Sehingga diperoleh:

Untuk $\frac{\pi}{3}$ adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=60\degree$

Untuk $\frac{4}{3}\pi$ adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=240\degree$

Untuk $\frac{\pi}{2}$ adalah:

$\theta\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180°}{\pi}$

$=90\degree$

Sehingga $f\left(\frac{\pi}{3}\right)+f\left(\frac{4}{3}\pi\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(60\degree\right)+f\left(240\degree\right)-f\left(90\degree\right)$

Perlu diingat bahwa sistem koordinat kartesius dibagi menjadi empat kuadran, yaitu:

Kuadran I: sudut $\theta$ dengan $0\degree<\theta<90\degree$

Kuadran II: sudut $\theta$ dengan $90\degree<\theta<180\degree$

Kuadran III: sudut $\theta$ dengan $180\degree<\theta<270\degree$

Kuadran IV: sudut $\theta$ dengan $270\degree<\theta<360\degree$

atau jika diilustrasikan dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut:

Karena $180\degree<210\degree<270\degree$, maka sudut $\alpha$ berada di kuadran III.

Secara umum, nilai $\sin$ pada kuadran III berlaku:

$\sin(180\degree+\theta)=-\sin\theta$

Untuk nilai $\sin240\degree$diperoleh:

$\sin240\degree$

$=\sin(180\degree+60\degree)$

$=-\sin60\degree$

$=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Diketahui bahwa $f\left(\alpha\right)=\sin\alpha+1$ sehingga didapatkan:

$f\left(\frac{\pi}{3}\right)+f\left(\frac{4}{3}\pi\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

$=f\left(60\degree\right)+f\left(240\degree\right)-f\left(90\degree\right)$

$=\left(\sin60\degree+1\right)+\left(\sin240\degree+1\right)-\left(\sin90\degree+1\right)$

$=\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}+1\right)+\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}+1\right)-\left(1+1\right)$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}+1-\frac{1}{2}\sqrt{3}+1-1-1$

$=0$

Jadi, nilai dari $f\left(\frac{\pi}{3}\right)+f\left(\frac{4}{3}\pi\right)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ adalah $0$.