Bank Soal Matematika SMA Akar-Akar Suku Banyak

Diketahui:

$\left(x-2\right)$ faktor dari $x^3+ax^2+bx+6$

$$$\left(x-3\right)$ faktor dari $x^3+ax^2+bx+6$

$x_1<x_2<x_3$

Ditanya:

$2x_1-x_2+x_3$ $=?$

Jawab:

Menggunakan teorema faktor

Misalkan $f\left(x\right)$ adalah suatu suku banyak dan $\left(x-a\right)$ adalah salah satu faktornya dan $x=a$ adalah salah satu akarnya, jika dan hanya jika $f\left(a\right)=0$.

Diketahui $\left(x-2\right)$ merupakan faktor dari $x^3+ax^2+bx+6$, maka

$x=2$

$f\left(2\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(2\right)^3+a\left(2\right)^2+b\left(2\right)+6=0$

$\Leftrightarrow\ 8+a\left(4\right)+b\left(2\right)+6=0$

$\Leftrightarrow\ 4a+2b+14=0$

$\Leftrightarrow\ 4a+2b=-14$

$\Leftrightarrow\ 2a+b=-7$ ...(1)

Diketahui $\left(x-3\right)$ merupakan faktor dari $x^3+ax^2+bx+6,$ maka

$x=3$

$f\left(3\right)=0$

$\Leftrightarrow\ \left(3\right)^3+a\left(3\right)^2+b\left(3\right)+6=0$

$\Leftrightarrow\ 27+a\left(9\right)+b\left(3\right)+6=0$

$\Leftrightarrow\ 27+9a+3b+6=0$

$\Leftrightarrow\ 9a+3b+33=0$

$\Leftrightarrow\ 9a+3b=-33$

$\Leftrightarrow\ 3a+b=-11$ ...(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

Substitusi $a=-4$ ke salah satu persamaan

$2a+b=-7$

$\Leftrightarrow\ 2\left(-4\right)+b=-7$

$\Leftrightarrow\ -8+b=-7$

$\Leftrightarrow\ b=-7+8$

$\Leftrightarrow\ b=1$

Sehingga bentuk polinomialnya menjadi:

$x^3-4x^2+x+6$ dengan faktor $\left(x-2\right)$ dan $\left(x-3\right)$

Bentuk Umum Polinomial adalah $f\left(x\right)=P\left(x\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)$ dengan $P\left(x\right)$ adalah pembagi; $H\left(x\right)$ adalah hasil bagi; dan $S\left(x\right)$ adalah sisa pembagian.

$x^3-4x^2+x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)$

Karena $\left(x-2\right)$ dan $\left(x-3\right)$ merupakan faktor-faktor dari polinomial, maka polinomial habis dibagi oleh faktor-faktornya. Dengan kata lain, hasil pembagian tidak bersisa atau $S\left(x\right)=0$ sehingga

$x^3-4x^2+x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)H\left(x\right)$

$x^3-4x^2+x+6=\left(x^2-5x+6\right)H\left(x\right)$

Untuk menemukan faktor ketiga, kita dapat memisalkan $H\left(x\right)=\left(x-k\right)$ sehingga

$x^3-4x^2+x+6=\left(x^2-5x+6\right)\left(x-k\right)$

$x^3-4x^2+x+6=x^3-kx^2-5x^2+5kx+6x-6k$

$x^3-4x^2+x+6=x^3+\left(-k-5\right)x^2+\left(5k+6\right)x-6k$

Menggunakan kesamaan suku banyak diperoleh

$-4=-k-5$

$\Leftrightarrow\ k=-5+4$

$\Leftrightarrow\ k=-1$

Sehingga faktor-faktornya adalah $\left(x-2\right),\ \left(x-3\right)$ dan $\left(x+1\right)$

$x-2=0\ \Leftrightarrow\ x=2$

$x-3=0\ \Leftrightarrow\ x=3$

$x+1=0\ \Leftrightarrow\ x=-1$

$x_1<x_2<x_3$ , maka

$x_1=-1,\ x_2=2,\ x_3=3$

$2x_1-x_2+x_3=2\left(-1\right)-2+3$

$\Leftrightarrow\ 2x_1-x_2+x_3=-2-2+3$

$\Leftrightarrow\ 2x_1-x_2+x_3=-1$

Jadi, nilai $2x_1-x_2+x_3$ adalah -1.