Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $h\left(x\right)=2\sin x+\sqrt{5}\cos x$ pada $0\le x\le360\degree$

Ditanya:

Nilai minimum fungsi $h\left(x\right)$ ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$ 

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=2\sin x+\sqrt{5}\cos x$ pada $0\le x\le360\degree$ .

Misalkan $h_1\left(x\right)=2\sin x$ dan $h_2\left(x\right)=\sqrt{5}\cos x$ diperoleh

$h_1'\left(x\right)=2\cos x$

$h_2'\left(x\right)=\sqrt{5}\left(-\sin x\right)=-\sqrt{5}\sin x$

$h'\left(x\right)=h_1'\left(x\right)+h_2'\left(x\right)=2\cos x-\sqrt{5}\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$h_1''\left(x\right)=-2\sin x$

$h_2''\left(x\right)=-\sqrt{5}\cos x$

$h''\left(x\right)=h_1''\left(x\right)+h_2''\left(x\right)=-2\sin x-\sqrt{5}\cos x$

Syarat pertama untuk mencari nilai minimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$h'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow2\cos x-\sqrt{5}\sin x=0$

$\Leftrightarrow2\cos x=\sqrt{5}\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\tan x=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ artinya $x$ berada di kuadran I dan III.

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{2}{\sqrt{5}}$, dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh $\sin x=\frac{2}{3}$ dan $\cos x=\frac{\sqrt{5}}{3}$ sehingga

$h''\left(x\right)=-2\sin x-\sqrt{5}\cos x$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=-2(\frac{2}{3})-\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=-\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=-3<0$ (maksimum)

Karena yang dicari nilai minimum, maka tidak perlu dihitung nilainya.

Selanjutnya untuk kuadran III diperoleh $\sin x=-\frac{2}{3}$ dan $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ sehingga

$h''\left(x\right)=-2\sin x-\sqrt{5}\cos x$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=-2(-\frac{2}{3})-\sqrt{5}\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=\frac{4}{3}+\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow h''\left(x\right)=3>0$ (minimum)

Artinya nilai minimum fungsi $h\left(x\right)$ adalah

$h\left(x\right)=2\sin x+\sqrt{5}\cos x$

$\Leftrightarrow h\left(x\right)=2(-\frac{2}{3})+\sqrt{5}\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow h\left(x\right)=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow h\left(x\right)=-\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow h\left(x\right)=-3$ (nilai minimum).

Jadi nilai minimum fungsi $h\left(x\right)$ adalah -3