Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Persamaan garis normal pada kurva $y=g(x)$ dengan $g(x)=\frac{\cos x}{\csc x}$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah ....

A

$y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$

B

$y=2x+120\degree-\frac{1}{4}\sqrt3$

C

$y=2x+120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$

D

$y=-2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$

E

$y=-2x+120\degree-\frac{1}{4}\sqrt3$

Pembahasan:

Diketahui:

Kurva $y=g(x)$ dengan $g(x)=\frac{\cos x}{\csc x}$

Ditanya:

Persamaan garis normal pada kurva $y$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis normal suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis normal pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=-\frac{1}{f'\left(x_1\right)}\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$ .

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=\csc x$ turunannya adalah $y'=-\csc x\cot x$

Untuk fungsi $y=\frac{u}{v}$ turunannya adalah $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $g(x)=\frac{u}{v}$ dengan $u=\cos x$ dan $v=\csc x$

Diperoleh

$u'=-\sin x$

$v'=-\csc x\cot x$

Perlu diingat bahwa $\sin x\csc x=1$ , $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ dan $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Dengan demikian didapat

$g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-\sin x\csc x-\cos x(-\csc x\cot x)}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\csc x\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\frac{1}{\sin x}\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cot^2 x}{\csc^2x}$

dan gradien garis singgung pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$m=g'(60\degree)$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\cot^260\degree}{\csc^260\degree}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree}}{\frac{1}{\sin^260\degree}}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree})\sin^260\degree$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2}\sqrt3)^2})(\frac{1}{2}\sqrt3)^2$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{1}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-\frac{2}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Selanjutnya persamaan garis normal pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=2\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 3
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS

Video

19 April 2022

Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XII

✔ Ingin tanya tutor?

✔ Cek sampel tanya jawab

Rangkuman

08 April 2020

Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Selengkapnya

Lihat Semua Rangkuman dan Materi

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

✔ Ingin soal latihan HOTS?

✔ Cek sampel soal HOTS?

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal