Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Persamaan garis normal pada kurva y=g(x)y=g(x) dengan g(x)=cosxcscxg(x)=\frac{\cos x}{\csc x} di titik (60°,143)(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3) adalah ....

A

y=2x120°+143y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3

B

y=2x+120°143y=2x+120\degree-\frac{1}{4}\sqrt3

C

y=2x+120°+143y=2x+120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3

D

y=2x120°+143y=-2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3

E

y=2x+120°143y=-2x+120\degree-\frac{1}{4}\sqrt3

Pembahasan:

Diketahui:

Kurva y=g(x)y=g(x) dengan g(x)=cosxcscxg(x)=\frac{\cos x}{\csc x}

Ditanya:

Persamaan garis normal pada kurva yy di titik (60°,143)(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3) ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis normal suatu kurva f(x)f\left(x\right) dapat dicari menggunakan turunan yaitu

m=f(x)=limh0f(x+h)f(x)hm=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}

sehingga persamaan garis normal pada kurva f(x)f\left(x\right) di titik (x1, y1)\left(x_1,\ y_1\right) adalah

yy1=1f(x1)(xx1)y-y_1=-\frac{1}{f'\left(x_1\right)}\left(x-x_1\right)

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi f(x)f\left(x\right).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=cscxy=\csc x turunannya adalah y=cscxcotxy'=-\csc x\cot x

Untuk fungsi y=uvy=\frac{u}{v} turunannya adalah y=uvuvv2y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk g(x)=uvg(x)=\frac{u}{v} dengan u=cosxu=\cos x dan v=cscxv=\csc x

Diperoleh

u=sinxu'=-\sin x

v=cscxcotxv'=-\csc x\cot x

Perlu diingat bahwa sinxcscx=1\sin x\csc x=1cscx=1sinx\csc x=\frac{1}{\sin x} dan cotx=cosxsinx\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}

Dengan demikian didapat

g(x)=uvuvv2g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}

g(x)=sinxcscxcosx(cscxcotx)csc2x\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-\sin x\csc x-\cos x(-\csc x\cot x)}{\csc^2x}

g(x)=1+cosxcscxcotxcsc2x\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\csc x\cot x}{\csc^2x}

g(x)=1+cosx1sinxcotxcsc2x\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\frac{1}{\sin x}\cot x}{\csc^2x}

g(x)=1+cot2xcsc2x\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cot^2 x}{\csc^2x}

dan gradien garis singgung pada kurva y=g(x)y=g(x) di titik (60°,143)(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3) adalah

m=g(60°)m=g'(60\degree)

m=1+cot260°csc260°\Leftrightarrow m=\frac{-1+\cot^260\degree}{\csc^260\degree}

m=1+cos260°sin260°1sin260°\Leftrightarrow m=\frac{-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree}}{\frac{1}{\sin^260\degree}}

m=(1+cos260°sin260°)sin260°\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree})\sin^260\degree

m=(1+(12)2(123)2)(123)2\Leftrightarrow m=(-1+\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2}\sqrt3)^2})(\frac{1}{2}\sqrt3)^2

m=(1+1434)34\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}})\frac{3}{4}

m=(1+13)34\Leftrightarrow m=(-1+\frac{1}{3})\frac{3}{4}

m=(23)34\Leftrightarrow m=(-\frac{2}{3})\frac{3}{4}

m=12\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}

Selanjutnya persamaan garis normal pada kurva y=g(x)y=g(x) di titik (60°,143)(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3) adalah

y(143)=112(x60°)y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}\left(x-60\degree\right)

y(143)=2(x60°)\Leftrightarrow y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=2\left(x-60\degree\right)

y=2x120°+143\Leftrightarrow y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 3
Teknik Hitung LOTS
Video
29 November 2021
Persamaan Eksponensial
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal