Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Diberikan fungsi h(x)=sinx+cosxh\left(x\right)=\sin x+\cos x. Subinterval di dalam 0x2π0\le x\le2\pi yang memenuhi kurva fungsi h(x)h\left(x\right) selalu turun adalah ....

A

14π<x<54π\frac{1}{4}\pi<x<\frac{5}{4}\pi

B

14πx54π\frac{1}{4}\pi\le x\le\frac{5}{4}\pi

C

0<x<14π0<x<\frac{1}{4}\pi atau 54π<x<2π\frac{5}{4}\pi<x<2\pi

D

0x14π0\le x\le\frac{1}{4}\pi atau 54π<x<2π\frac{5}{4}\pi<x<2\pi

E

0x14π0\le x\le\frac{1}{4}\pi atau 54πx2π\frac{5}{4}\pi\le x\le2\pi

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsii h(x)=sinx+cosxh\left(x\right)=\sin x+\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi

Ditanya:

Subinterval di dalam 0x2π0\le x\le2\pi yang membuat kurva fungsi h(x)h\left(x\right) selalu turun?

Jawab:

Diberikan fungsi y=f(x)y=f\left(x\right) dalam interval II dengan f(x)f\left(x\right) diferensiabel untuk setiap xIx\in I berlaku

  1. jika f(x)>0f'\left(x\right)>0 untuk setiap xIx\in I, maka kurva f(x)f\left(x\right) selalu naik pada interval II
  2. jika f(x)<0f'\left(x\right)<0 untuk setiap xIx\in I, maka kurva f(x)f\left(x\right) selalu turun pada interval II
  3. jika f(x)=0f'\left(x\right)=0 untuk setiap xIx\in I, maka kurva f(x)f\left(x\right) stasioner (diam) pada interval II
  4. jika f(x)0f'\left(x\right)\ge0 untuk setiap xIx\in I, maka kurva f(x)f\left(x\right) tidak pernah turun pada interval II
  5. jika f(x)0f'\left(x\right)\le0 untuk setiap xIx\in I, maka kurva f(x)f\left(x\right) tidak pernah naik pada interval II

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=ay=a dengan aa suatu konstanta turunannya adalah y=0y'=0

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi h(x)=sinx+cosxh\left(x\right)=\sin x+\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi. Turunan pertamanya adalah h(x)=cosxsinxh'\left(x\right)=\cos x-\sin x. Pembuat nol dari h(x)h'\left(x\right) adalah

h(x)=0h'\left(x\right)=0

cosxsinx=0\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0

sinx=cosx\Leftrightarrow\sin x=\cos x

sinxcosx=1\Leftrightarrow\frac{\sin x}{\cos x}=1

tanx=1\Leftrightarrow\tan x=1

tanx=tan14π\Leftrightarrow\tan x=\tan\frac{1}{4}\pi

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan tan(ax+b)=tanθ\tan\left(ax+b\right)=\tan\theta adalah ax+b=θ+kπax+b=\theta+k\pi sehingga untuk tanx=tan14π\tan x=\tan\frac{1}{4}\pi didapat

x=14π+kπx=\frac{1}{4}\pi+k\pi

untuk k=0k=0 didapat x=14π+0.π=14πx=\frac{1}{4}\pi+0.\pi=\frac{1}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 didapat x=14π+1.π=54πx=\frac{1}{4}\pi+1.\pi=\frac{5}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

Artinya, pembuat nol dari h(x)h'\left(x\right) adalah x={14π, 54π}x=\left\{\frac{1}{4}\pi,\ \frac{5}{4}\pi\right\}

Selanjutnya, cek nilai dari h(x)h'\left(x\right) untuk setiap subinterval yang terbentuk.

Untuk subinterval 14πx<54π\frac{1}{4}\pi\le x<\frac{5}{4}\pi dipilih x=12πx=\frac{1}{2}\pi didapat

h(12π)=cos12πsin12π=01=1h'\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\cos\frac{1}{2}\pi-\sin\frac{1}{2}\pi=0-1=-1 (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

yang diminta pada soal subinterval yang membuat kurva fungsi h(x)h\left(x\right) selalu turun atau dengan kata lain h(x)<0h'\left(x\right)<0 (negatif). Jadi subinterval di dalam 0x2π0\le x\le2\pi yang membuat kurva fungsi h(x)=sinx+cosxh\left(x\right)=\sin x+\cos x selalu turun adalah 14π<x<54π\frac{1}{4}\pi<x<\frac{5}{4}\pi

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XII
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal