Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diberikan fungsi $h\left(x\right)=\sin x+\cos x$ . Subinterval di dalam $0\le x\le2\pi$ yang memenuhi kurva fungsi $h\left(x\right)$ selalu turun adalah ....

C

$0<x<\frac{1}{4}\pi$ atau $\frac{5}{4}\pi<x<2\pi$

D

$0\le x\le\frac{1}{4}\pi$ atau $\frac{5}{4}\pi<x<2\pi$

E

$0\le x\le\frac{1}{4}\pi$ atau $\frac{5}{4}\pi\le x\le2\pi$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsii $h\left(x\right)=\sin x+\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Subinterval di dalam $0\le x\le2\pi$ yang membuat kurva fungsi $h\left(x\right)$ selalu turun?

Jawab:

Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel untuk setiap $x\in I$ berlaku

jika $f'\left(x\right)>0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)<0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ selalu turun pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)=0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (diam) pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)\ge0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$
jika $f'\left(x\right)\le0$ untuk setiap $x\in I$ , maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=\sin x+\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$ . Turunan pertamanya adalah $h'\left(x\right)=\cos x-\sin x$ . Pembuat nol dari $h'\left(x\right)$ adalah

$h'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0$

$\Leftrightarrow\sin x=\cos x$

$\Leftrightarrow\frac{\sin x}{\cos x}=1$

$\Leftrightarrow\tan x=1$

$\Leftrightarrow\tan x=\tan\frac{1}{4}\pi$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\tan\left(ax+b\right)=\tan\theta$ adalah $ax+b=\theta+k\pi$ sehingga untuk $\tan x=\tan\frac{1}{4}\pi$ didapat

$x=\frac{1}{4}\pi+k\pi$

untuk $k=0$ didapat $x=\frac{1}{4}\pi+0.\pi=\frac{1}{4}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ didapat $x=\frac{1}{4}\pi+1.\pi=\frac{5}{4}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

Artinya, pembuat nol dari $h'\left(x\right)$ adalah $x=\left\{\frac{1}{4}\pi,\ \frac{5}{4}\pi\right\}$

Selanjutnya, cek nilai dari $h'\left(x\right)$ untuk setiap subinterval yang terbentuk.

Untuk subinterval $\frac{1}{4}\pi\le x<\frac{5}{4}\pi$ dipilih $x=\frac{1}{2}\pi$ didapat

$h'\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\cos\frac{1}{2}\pi-\sin\frac{1}{2}\pi=0-1=-1$ (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

yang diminta pada soal subinterval yang membuat kurva fungsi $h\left(x\right)$ selalu turun atau dengan kata lain $h'\left(x\right)<0$ (negatif). Jadi subinterval di dalam $0\le x\le2\pi$ yang membuat kurva fungsi $h\left(x\right)=\sin x+\cos x$ selalu turun adalah $\frac{1}{4}\pi<x<\frac{5}{4}\pi$