Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}<-1$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}<-1$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{7}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{9}{x-3}+1<0$

Samakan penyebut:

⇔ $\frac{7+9\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$

⇔ $\frac{7+9x-18+x^2-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$

⇔ $\frac{x^2+4x-5}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}<0$ ... (2)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=x^2+4x-5$ dan $g\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2+4x-5=0$

⇔ $\left(x+5\right)\left(x-1\right)=0$

$x+5=0$ ⇔ $x=-5$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

$x-2=0$ ⇔ $x=2$ atau

$x-3=0$ ⇔ $x=3$

Totalnya, ada empat nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari keempat titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $-5<x<1$, kita ambil $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{0^2+4\cdot0-5}{\left(0-2\right)\left(0-3\right)}<0$

⇔ $\frac{-5}{6}<0$ ... (3)

Ruas kanan negatif. Dengan demikian, interval tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $-5<x<1$ atau $2<x<3$.