Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$-\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$

$0°\le x\le360°$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian $=?$

Jawab:

Jika diketahui persamaan $a\cos x+b\sin x=c$ maka ubah persamaan dalam bentuk $k\cos\left(x-\alpha\right)=c$ dengan $k=\sqrt{a^2+b^2}$ dan $\tan\alpha=\frac{b}{a}$

Catatan: Sudut $\alpha$ yang memenuhi $\tan\alpha=\frac{b}{a}$ harus berada pada kuadran yang sama dengan titik $\left(a,b\right)$

Dengan demikian,

$-\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$

$a=-1,b=\sqrt{3},\ c=\sqrt{3}$ maka

$k=\sqrt{a^2+b^2}$

$=\sqrt{(-1)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}$

$=\sqrt{1+3}$

$=\sqrt{4}$

$=2$

$\tan\alpha=\frac{b}{a}$

$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

Karena $a=-1,\ b=\sqrt{3}$ yang berarti titik $\left(-1,\ \sqrt{3}\right)$ berada pada kuadran II maka $\alpha$ juga berada pada kuadran II

$\alpha=120\degree$

Sehingga diperoleh

$2\cos\left(x-120\degree\right)=\sqrt{3}$

$\cos\left(x-120\degree\right)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\cos\left(x-120\degree\right)=\cos30\degree$

$\cos x=\cos\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$x-120\degree=30\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=30\degree+120\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=150\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=150\degree+\left(360\ .0\right)\degree$

$x=150\degree+0\degree$

$x=150\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=150\degree+\left(360\ .1\right)\degree$

$x=510\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$x-120\degree=-30\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=-30\degree+120\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=90\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=90\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=90\degree+0\degree$

$x=90\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=90\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=90\degree+360\degree$

$x=450\degree$ (tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{90\degree,150\degree\right\}$