Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Soal

Pilgan

Jika diketahui parabola y=x23x+9y=x^2-3x+9 tidak memotong garis y=mx+5y=mx+5, maka nilai mm yang memenuhi adalah ....

A

1<m<71<m<7

B

1<m<7-1<m<7

C

7<m<1-7<m<1

D

m<1 atau m>7m<-1\text{ atau }m>7

E

m<7 atau m>1m<-7\text{ atau }m>1

Pembahasan:

Secara umum, diberikan kurva y=a1x2+b1x+c1y=a_1x^2+b_1x+c_1 dan garis y=b2x+c2y=b_2x+c_2. Jika persamaan garis disubstitusi ke persamaan kurva menjadi

a1x2+b1x+c1=b2x+c2a_1x^2+b_1x+c_1=b_2x+c_2

a1x2+b1x+c1b2xc2=0\Leftrightarrow a_1x^2+b_1x+c_1-b_2x-c_2=0

a1x2+b1xb2x+c1c2=0\Leftrightarrow a_1x^2+b_1x-b_2x+c_1-c_2=0

a1x2+(b1b2)x+(c1c2)=0\Leftrightarrow a_1x^2+\left(b_1-b_2\right)x+\left(c_1-c_2\right)=0

ax2+bx+c=0\Leftrightarrow ax^2+bx+c=0 . . . (*),

dengan a=a1, b=b1b2, c=c1c2a=a_1,\ b=b_1-b_2,\ c=c_1-c_2,

dan diskriminan persamaan (*) adalah D=b24acD=b^2-4ac, maka kedudukan kurva dan garis sebagai berikut:

  1. Memotong sumbu XX di dua titik jika diskriminannya lebih dari nol (D>0D>0).
  2. Menyinggung sumbu XX (memotong sumbu XX di satu titik) jika diskriminannya sama dengan nol (D=0D=0).
  3. Tidak memotong sumbu XX jika diskriminannya kurang dari nol (D<0D<0).

Pada soal diketahui parabola y=x23x+9y=x^2-3x+9 tidak memotong garis y=mx+5y=mx+5, sehingga didapat

x23x+9=mx+5x^2-3x+9=mx+5

x23x+9mx5=0\Leftrightarrow x^2-3x+9-mx-5=0

x23xmx+95=0\Leftrightarrow x^2-3x-mx+9-5=0

x2+(3m)x+4=0\Leftrightarrow x^2+(-3-m)x+4=0

Artinya, a=1, b=3m=(3+m), c=4a=1,\ b=-3-m=-(3+m),\ c=4

Karena parabola tidak memotong garis, maka D<0D<0. Diperoleh

D<0D<0

b24ac<0\Leftrightarrow b^2-4ac<0

((3+m))24.1.4<0\Leftrightarrow(-(3+m))^2-4.1.4<0

(3+m)216<0\Leftrightarrow(3+m)^2-16<0

9+6m+m216<0\Leftrightarrow 9+6m+m^2-16<0

m2+6m+916<0\Leftrightarrow m^2+6m+9-16<0

m2+6m7<0\Leftrightarrow m^2+6m-7<0 . . . (1)

Pertidaksamaan (1) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
  2. Mencari nilai xx yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (1) adalah

m2+6m7=0m^2+6m-7=0 . . . (2)

Nilai a, ba,\ b sehingga a+b=6a+b=6 dan ab=7ab=-7 adalah a=7a=7 dan b=1b=-1.

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

(m+a)(m+b)=0\left(m+a\right)\left(m+b\right)=0

(m+7)(m1)=0\Leftrightarrow\left(m+7\right)\left(m-1\right)=0 . . . (3)

Artinya,

m+7=0m=7m+7=0\Leftrightarrow m=-7 atau

m1=0m=1m-1=0\Leftrightarrow m=1.

Untuk m<7m<-7, diambil sebagai sampel m=8m=-8 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

(8+7)(81)=(1)(9)=9>0\left(-8+7\right)\left(-8-1\right)=\left(-1\right)\left(-9\right)=9>0 (bernilai positif).

Untuk 7<m<1-7<m<1, diambil sebagai sampel m=0m=0 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

(0+7)(01)=7(1)=7<0\left(0+7\right)\left(0-1\right)=7\left(-1\right)=-7<0 (bernilai negatif).

Untuk m>1m>1, diambil sebagai sampel m=2m=2 (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

(2+7)(21)=9.1=9>0\left(2+7\right)\left(2-1\right)=9.1=9>0 (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (1) memiliki tanda <<. Artinya nilai mm yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena pertidaksamaan (1) tidak memuat sama dengan, maka m=7m=-7 dan m=1m=1 tidak memenuhi pertidaksamaan (1). Jadi nilai mm yang memenuhi adalah 7<m<1-7<m<1


K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Kuadrat Skor 2
Matematika Wajib LOTS Teknik Hitung Video
Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal