Bank Soal Matematika SMP Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

Diketahui:

$ON$ merupakan garis singgung perketuan luar dengan panjang 16 cm.

Panjang $OK:MN=5:2$

Ditanya:

Panjang $KL$ ?

Dijawab:

Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dapat ditentukan dengan cara

$d=\sqrt{p^2-\left(R-r\right)^2}$

Dimana:

d = panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

p = jarak pusat lingkaran besar dan lingkaran kecil

R = jari-jari lingkaran besar.

r = jari-jari lingkaran kecil.

R > r.

Berdasarkan gambar pada soal, dapat dilihat bahwa

• $LM=MN=\frac{2}{5}OK$
• $KM=OK=\frac{5}{2}MN$

Dengan menggunakan konsep garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, maka panjang $LM$ dapat ditentukan dengan

$ON=\sqrt{KM^2-\left(KM-MN\right)^2}$

$\Leftrightarrow16^2=\left(KM\right)^2-\left(KM-MN\right)^2$

$\Leftrightarrow256=KM^2-\left(KM^2-2KM.MN+MN^2\right)$

$\Leftrightarrow256=KM^2-KM^2+2KM.MN-MN^2$

$\Leftrightarrow256=2KM.MN-MN^2$

karena $KM=\frac{5}{2}MN$ didapat

$\Leftrightarrow256=2\times\frac{5}{2}MN\times MN-MN^2$

$\Leftrightarrow256=5MN^2-MN^2$

$\Leftrightarrow256=4MN^2$

$\Leftrightarrow\frac{256}{4}=MN^2$

$\Leftrightarrow64=MN^2$

$\Leftrightarrow\sqrt{64}=MN^{ }$

$\Leftrightarrow8=MN^{ }$

Didapat panjang $MN=$ 8 cm, karena $MN=LM\ \text{}$didapat panjang $LM=$ 8 cm

Panjang $KM=\frac{5}{2}MN=\frac{5}{2}\times8=20$ cm

Panjang $KL$ ditentukan oleh $KM=KL+LM$

$\Leftrightarrow\ 20\ \text{}$

$\Leftrightarrow\ 20\ =\ KL\ +\ 8$

$\Leftrightarrow\ 20\ -8=\ KL\$

$\Leftrightarrow\ 12=\ KL\$

Jadi, panjang $KL$ adalah 12 cm