Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

Jilbab merah $=5$ buah

Jilbab putih $=2$ buah

Total jilbab $=7$ buah

Banyak jilbab yang diambil secara acak $=3$

$X$ menyatakan banyaknya jilbab berwarna putih yang terambil

Ditanya:

Nilai harapan dari $X=?$

Dijawab:

Distribusi peluang bagi $X$ adalah sebagai berikut:

$f\left(x\right)=\frac{\left(_x^2\right)\left(_{3-x}^{\ \ \ 5}\right)}{\left(_3^7\right)}$; untuk $x=0,1,2$

dengan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ \cdot\ x!}$

Untuk $X=0$ didapatkan:

$f\left(0\right)=\frac{\left(_0^2\right)\left(_3^5\right)}{\left(_3^7\right)}$

$=\frac{\frac{2!}{\left(2-0\right)!\ \cdot\ 0!}\cdot\frac{5!}{\left(5-3\right)!\ \cdot\ 3!}}{\frac{7!}{\left(7-3\right)!\ \cdot\ 3!}\ }$

$=\frac{\frac{2!}{2!\ \cdot\ 0!}\cdot\frac{5!}{2!\ \cdot\ 3!}}{\frac{7!}{4!\ \cdot\ 3!}\ }$; ingat bahwa $0!=1$

$=\frac{1\ \cdot\ 10}{35\ }$

$=\frac{2}{7}$

Untuk $X=1$ didapatkan:

$f\left(1\right)=\frac{\left(_1^2\right)\left(_2^5\right)}{\left(_3^7\right)}$

$=\frac{\frac{2!}{\left(2-1\right)!\ \cdot\ 1!}\cdot\frac{5!}{\left(5-2\right)!\ \cdot\ 2!}}{\frac{7!}{\left(7-3\right)!\ \cdot\ 3!}\ }$

$=\frac{\frac{2!}{1!\ \cdot\ 1!}\cdot\frac{5!}{3!\ \cdot\ 2!}}{\frac{7!}{4!\ \cdot\ 3!}\ }$

$=\frac{2\ \cdot\ 10}{35\ }$

$=\frac{4}{7}$

Untuk $X=2$ didapatkan:

$f\left(2\right)=\frac{\left(_2^2\right)\left(_1^5\right)}{\left(_3^7\right)}$

$=\frac{\frac{2!}{\left(2-2\right)!\ \cdot\ 2!}\cdot\frac{5!}{\left(5-1\right)!\ \cdot\ 1!}}{\frac{7!}{\left(7-3\right)!\ \cdot\ 3!}\ }$

$=\frac{\frac{2!}{0!\ \cdot\ 2!}\cdot\frac{5!}{4!\ \cdot\ 1!}}{\frac{7!}{4!\ \cdot\ 3!}\ }$; ingat bahwa $0!=1$

$=\frac{1\ \cdot\ 5}{35\ }$

$=\frac{1}{7}$

Jika disajikan di dalam tabel didapatkan:

Nilai harapan atau rata-rata variabel acak ditentukan oleh

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^nx_i\ .\ f\left(x_i\right)$

Dengan demikian nilai harapan dari $X$ didapatkan:

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^3x_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=0\left(\frac{2}{7}\right)+1\left(\frac{4}{7}\right)+2\left(\frac{1}{7}\right)$

$=0+\frac{4}{7}+\frac{2}{7}$

$=\frac{6}{7}$

Jadi, nilai harapan dari $X$ adalah $\frac{6}{7}$.