Bank Soal Matematika Peminatan SMA Persamaan Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Himpunan penyelesaian untuk persamaan trigonometri 3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0 pada interval 0x2π0\le x\le2\pi adalah ....

A

{π6,2π3,7π6,5π3}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}

B

{π6,π2,2π3,π,7π6,3π2,5π3,2π}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3},2\pi\right\}

C

{π6,7π6}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right\}

D

{π6,3π4,5π4,7π4}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}

E

{0,π,2π}\left\{0,\pi,2\pi\right\}

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri 3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\sqrt{3}\sin \left(2A\right)\cot \left(2A\right)-\sin \left(2A\right)=0 .

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pada interval 0x2π0\le x\le2\pi ?

Dijawab:

 3sin(2A)cot(2A)sin(2A)=0\leftrightarrow\ \sqrt{3}\sin\left(2A\right)\cot\left(2A\right)-\sin\left(2A\right)=0

 sin(2A)(3cot(2A)1)=0\leftrightarrow\ \sin\left(2A\right)\left(\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1\right)=0

Sehingga mendapat 2 hasil, yaitu:

Himpunan penyelesaian pertama

sin(2A)=0\sin\left(2A\right)=0

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah sinx=sina \sin x=\sin a\ , maka terdapat 2 hasil yaitu x=a+k2πx=a+k\cdot2\pi dan x=(πa)+k2πx=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi mengingat periode dari sinus adalah 2π2\pi . Maka jika x x\ dimisalkan sebagai 2A2A dan aa dimisalkan sebagai π\pi, kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

2A=π+2πk2A=\pi+2\pi k

 2A=2kπ\leftrightarrow\ 2A=2k\pi

 A=kπ\leftrightarrow\ A=k\pi

Karena cotπ\cot\pi dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Kemungkinan 2

2A=(ππ)+2πk2A=\left(\pi-\pi\right)+2\pi k

 2A=0+2kπ\leftrightarrow\ 2A=0+2k\pi

 A=kπ\leftrightarrow\ A=k\pi

Karena cotπ\cot\pi dan kelipatannya nilainya tidak terdefinisi, maka hasil diatas tidak memenuhi.

Himpunan penyelesaian kedua

3cot(2A)1=0\sqrt{3}\cot\left(2A\right)-1=0

 3cot(2A)=1\leftrightarrow\ \sqrt{3}\cot\left(2A\right)=1

cot(2A)=13\leftrightarrow\cot\left(2A\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}

tan(2A)=3\leftrightarrow\tan\left(2A\right)=\sqrt{3}

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah tanx=tana\tan x=\tan a maka didapat hasil x=a+kπx=a+k\pi:

 2A=π3+kπ\leftrightarrow\ 2A=\frac{\pi}{3}+k\pi

 A=π6+kπ2\leftrightarrow\ A=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}

Selanjutnya adalah menghitung nilai-nilai xx yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,+-1,+-2,dst.:

  1. A=π6A=\frac{\pi}{6} (k=0)
  2. A=4π6=2π3A=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3} (k=1)
  3. A=7π6A=\frac{7\pi}{6} (k=2)
  4. A=10π6=5π3A=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3} (k=3)
  5. A=13π6A=\frac{13\pi}{6} (k=4) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Maka dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri diatas pada interval yang telah ditentukan adalah {π6,2π3,7π6,5π3}\left\{\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{3}\right\}.

K13 Kelas XI Matematika Peminatan Trigonometri Persamaan Trigonometri Skor 2
Teknik Hitung LOTS
Video
29 November 2021
Persamaan Eksponensial
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal