Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers pada Fungsi

Diketahui:

$f\left(x\right)=3x+5$

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=x+2$

Ditanya:

$g^{-1}\left(-1\right)=?$

Jawab:

Perlu diingat definisi invers fungsi berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, $f\left(x\right)=y$, jika dan hanya jika $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Selain itu, perlu diingat juga definisi komposisi fungsi.

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Diketahui bahwa $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=x+2$ maka

$g\left(f\left(x\right)\right)=x+2$

$g\left(3x+5\right)=x+2$

Misalkan $a=3x+5$ maka

$a=3x+5$

$a-5=3x$

$\frac{a-5}{3}=x$

Dengan demikian,

$g\left(a\right)=\frac{a-5}{3}+2$

$g\left(a\right)=\frac{1}{3}a-\frac{5}{3}+\frac{6}{3}$

$g\left(a\right)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$

Boleh juga ditulis dalam bentuk

$g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

Selanjutnya mencari invers fungsi $g\left(x\right)$

$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

Kalikan kedua ruas dengan 3

$3y=x+1$

$3y-1=x$

$g^{-1}\left(x\right)=3x-1$

Sehingga diperoleh

$g^{-1}\left(-1\right)=3\left(-1\right)-1$

$=-3-1$

$=-4$

Jadi, nilai $g^{-1}\left(-1\right)$ adalah $-4$.