Bank Soal Matematika SMA Akar-Akar Suku Banyak

Soal

Pilgan

Diketahui suku banyak P(x)=x337x84P\left(x\right)=x^3-37x-84. Jika MM, NN, dan OO merupakan akar-akar persamaan suku banyak P(x)P\left(x\right), maka hasil dari M3+N3+O3M^3+N^3+O^3 adalah ....

A

222

B

252

C

306

D

380

E

434

Pembahasan:

Diketahui:

Suku banyak P(x)=x337x84P\left(x\right)=x^3-37x-84

MM, NN, dan OO merupakan akar-akar persamaan suku banyak P(x)P\left(x\right)

Ditanya:

Hasil dari M3+N3+O3M^3+N^3+O^3?

Dijawab:

Misalkan terdapat suatu suku banyak P(x)P\left(x\right), maka:

(xh)\left(x-h\right) merupakan faktor dari P(x)P\left(x\right) jika dan hanya jika hh merupakan akar persamaan sehingga P(h)=0P\left(h\right)=0.

Teorema Akar-akar Vieta:

Berdasarkan bentuk umum persamaan suku banyak berderajat nn

anxn+an1xn1+...+a1x+a0=0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0

Keterangan:

Bilangan cacah = nn

Koefisien = an,an1,...,a1a_n,a_{n-1},...,a_1

Konstanta = a0a_0

Koefisien pangkat tertinggi = ana_n

Koefisien pangkat terendah = aoa_o

mempunyai akar-akar: x1,x2,x3,...,xnx_1,x_2,x_3,...,x_n, maka berlaku:

  1. x1+x2+x3+....+xn=(an1an)x_1+x_2+x_3+....+x_n=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)
  2. x1x2+x1x3+x2x3+...+xn1xn=an2anx_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}
  3. x1x2x3+x1x2x4+...+xn2xn1xn=(an3an)x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+...+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\left(\frac{a_{n-3}}{a_n}\right)
  4. x1x2x3...xn=(1)n×a0anx_1x_2x_3...x_n=\left(-1\right)^n\times\frac{a_0}{a_n}

Perhatikan suku banyak P(x)=x337x84P\left(x\right)=x^3-37x-84.

Karena MM, NN, dan OO merupakan akar-akar persamaan suku banyak P(x)=x337x84P\left(x\right)=x^3-37x-84, maka:

P(M)=0P\left(M\right)=0

M337M84=0M^3-37M-84=0

M3=84+37M\Leftrightarrow M^3=84+37M

P(N)=0P\left(N\right)=0

N337N84=0N^3-37N-84=0

N3=84+37N\Leftrightarrow N^3=84+37N

P(O)=0P\left(O\right)=0

O337O84=0O^3-37O-84=0

O3=84+37O\Leftrightarrow O^3=84+37O

Berdasarkan teorema akar-akar Vieta, maka:

Suku banyak P(x)=x337x84P\left(x\right)=x^3-37x-84 dengan an=a3=1a_n=a_3=1 dan an1=a2=0a_{n-1}=a_2=0.

M+N+O=(an1an)=(01)=0M+N+O=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=-\left(\frac{0}{1}\right)=0

Hasil dari M2+N2+O2M^2+N^2+O^2:

M3+N3+O3=(84+37M)+(84+37N)+(84+37O)M^3+N^3+O^3=\left(84+37M\right)+\left(84+37N\right)+\left(84+37O\right)

M3+N3+O3=(84+84+84)+(37M+37N+37O)\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(84+84+84\right)+\left(37M+37N+37O\right)

M3+N3+O3=(252)+37(M+N+O)\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(252\right)+37\left(M+N+O\right)

M3+N3+O3=252+37(0)\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252+37\left(0\right)

M3+N3+O3=252\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252

Jadi, hasil dari M3+N3+O3M^3+N^3+O^3 adalah 252.

K13 Kelas XI Matematika Aljabar Faktorisasi Polinom Akar-Akar Suku Banyak Skor 2
Matematika Peminatan LOTS
Video
10 April 2022
Akar-Akar Suku Banyak | Matematika Peminatan | Kelas XI
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal