Bank Soal Matematika SMA Akar-Akar Suku Banyak

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$ . Jika $M$ , $N$ , dan $O$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak $P\left(x\right)$ , maka hasil dari $M^3+N^3+O^3$ adalah ....

A

222

B

252

C

306

D

380

E

434

Pembahasan:

Diketahui:

Suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$

$M$ , $N$ , dan $O$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak $P\left(x\right)$

Ditanya:

Hasil dari $M^3+N^3+O^3$ ?

Dijawab:

Misalkan terdapat suatu suku banyak $P\left(x\right)$ , maka:

$\left(x-h\right)$ merupakan faktor dari $P\left(x\right)$ jika dan hanya jika $h$ merupakan akar persamaan sehingga $P\left(h\right)=0$ .

Teorema Akar-akar Vieta:

Berdasarkan bentuk umum persamaan suku banyak berderajat $n$

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$

Keterangan:

Bilangan cacah = $n$

Koefisien = $a_n,a_{n-1},...,a_1$

Konstanta = $a_0$

Koefisien pangkat tertinggi = $a_n$

Koefisien pangkat terendah = $a_o$

mempunyai akar-akar: $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ , maka berlaku:

$x_1+x_2+x_3+....+x_n=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+...+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\left(\frac{a_{n-3}}{a_n}\right)$
$x_1x_2x_3...x_n=\left(-1\right)^n\times\frac{a_0}{a_n}$

Perhatikan suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$ .

Karena $M$ , $N$ , dan $O$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$ , maka:

$P\left(M\right)=0$

$M^3-37M-84=0$

$\Leftrightarrow M^3=84+37M$

$P\left(N\right)=0$

$N^3-37N-84=0$

$\Leftrightarrow N^3=84+37N$

$P\left(O\right)=0$

$O^3-37O-84=0$

$\Leftrightarrow O^3=84+37O$

Berdasarkan teorema akar-akar Vieta, maka:

Suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$ dengan $a_n=a_3=1$ dan $a_{n-1}=a_2=0$ .

$M+N+O=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=-\left(\frac{0}{1}\right)=0$

Hasil dari $M^2+N^2+O^2$ :

$M^3+N^3+O^3=\left(84+37M\right)+\left(84+37N\right)+\left(84+37O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(84+84+84\right)+\left(37M+37N+37O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(252\right)+37\left(M+N+O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252+37\left(0\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252$

Jadi, hasil dari $M^3+N^3+O^3$ adalah 252.

K13 Kelas XI Matematika Aljabar Faktorisasi Polinom Akar-Akar Suku Banyak Skor 2
Matematika Peminatan LOTS

Video

10 April 2022

Akar-Akar Suku Banyak | Matematika Peminatan | Kelas XI

✔ Ingin tanya tutor?

✔ Cek sampel tanya jawab

Rangkuman

08 April 2020

Bab 5 | Bangun Datar | Matematika | Kelas 4

Selengkapnya

Lihat Semua Rangkuman dan Materi

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

✔ Ingin soal latihan HOTS?

✔ Cek sampel soal HOTS?

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal