Bank Soal Matematika SMA Akar-Akar Suku Banyak

Diketahui:

Suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$

$M$, $N$, dan $O$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak $P\left(x\right)$

Ditanya:

Hasil dari $M^3+N^3+O^3$?

Dijawab:

Misalkan terdapat suatu suku banyak $P\left(x\right)$, maka:

$\left(x-h\right)$ merupakan faktor dari $P\left(x\right)$ jika dan hanya jika $h$ merupakan akar persamaan sehingga $P\left(h\right)=0$.

Teorema Akar-akar Vieta:

Berdasarkan bentuk umum persamaan suku banyak berderajat $n$

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$

Keterangan:

Bilangan cacah = $n$

Koefisien = $a_n,a_{n-1},...,a_1$

Konstanta = $a_0$

Koefisien pangkat tertinggi = $a_n$

Koefisien pangkat terendah = $a_o$

mempunyai akar-akar: $x_1,x_2,x_3,...,x_n$, maka berlaku:

1. $x_1+x_2+x_3+....+x_n=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)$
2. $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$
3. $x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+...+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\left(\frac{a_{n-3}}{a_n}\right)$
4. $x_1x_2x_3...x_n=\left(-1\right)^n\times\frac{a_0}{a_n}$

Perhatikan suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$.

Karena $M$, $N$, dan $O$ merupakan akar-akar persamaan suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$, maka:

$P\left(M\right)=0$

$M^3-37M-84=0$

$\Leftrightarrow M^3=84+37M$

$P\left(N\right)=0$

$N^3-37N-84=0$

$\Leftrightarrow N^3=84+37N$

$P\left(O\right)=0$

$O^3-37O-84=0$

$\Leftrightarrow O^3=84+37O$

Berdasarkan teorema akar-akar Vieta, maka:

Suku banyak $P\left(x\right)=x^3-37x-84$ dengan $a_n=a_3=1$ dan $a_{n-1}=a_2=0$.

$M+N+O=-\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=-\left(\frac{0}{1}\right)=0$

Hasil dari $M^2+N^2+O^2$:

$M^3+N^3+O^3=\left(84+37M\right)+\left(84+37N\right)+\left(84+37O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(84+84+84\right)+\left(37M+37N+37O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=\left(252\right)+37\left(M+N+O\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252+37\left(0\right)$

$\Leftrightarrow M^3+N^3+O^3=252$

Jadi, hasil dari $M^3+N^3+O^3$ adalah 252.