Diketahui:

Grafik fungsi $f(x)=\frac{-2}{x-3}$ terletak di atas fungsi $g\left(x\right)=x$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui fungsi $f$ terletak di atas fungsi $g$. Artinya $f\left(x\right)>g\left(x\right)$. Diperoleh

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$

$\Leftrightarrow\frac{-2}{x-3}>x$

$\Leftrightarrow\frac{-2}{x-3}-x>0$

$\Leftrightarrow\frac{-2}{x-3}-\frac{x\left(x-3\right)}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-2}{x-3}-\frac{x^2-3x}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-2-\left(x^2-3x\right)}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-2-x^2+3x}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-x^2+3x-2}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-1\left(x^2-3x+2\right)}{x-3}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-3x+2}{x-3}<0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear-kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{ax^2+bx+x}{px+q}\le n$ atau $\frac{px+q}{ax^2+bx+x}\le n$

dengan $a,\ b,\ c,\ p,\ q,$ dan $n$ merupakan konstanta. Tanda pertidaksamaan $\le$ dapat juga berbentuk $<,\ \ge,$ atau $>$

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2-3x+2}{x-3}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2-3x+2=0$  . . . (**)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-3$ dan $pq=2$ adalah $p=-2$ dan $q=-1$

Akibatnya persamaan (**) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$

Artinya

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$  atau

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Untuk penyebut diperoleh

$x-3=0$

$\Leftrightarrow x=3$

Karena $x=3$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=3$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol yang diperoleh, pertidaksamaan (*) dapat ditulis menjadi

$\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x-3}<0$  . . . (***)

Diperhatikan tabel yang menunjukkan tanda nilai yang diperoleh pada batasan/interval yang ada.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (***) memiliki tanda $<$ artinya yang diminta adalah hasil dengan tanda negatif dan $x=2,\ x=1$ bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperoleh

Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $x<1$ atau $2<x<3$