Bank Soal Matematika SMA Dasar Teori Vektor dan Operasi Vektor

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z},$ $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+4\overrightarrow{z},$ dan $\overrightarrow{OC}=6\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}.$ Jika $\overrightarrow{\ AB}=\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{\ BC}=\overrightarrow{v}$ , maka hasil $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=....$

A

$5\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}+9\overrightarrow{z}$

B

$5\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+9\overrightarrow{z}$

C

$5\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}-9\overrightarrow{z}$

D

$5\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}-9\overrightarrow{z}$

E

$-5\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}+9\overrightarrow{z}$

Pembahasan:

Diketahui:

$\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}$

$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+4\overrightarrow{z}$

$\overrightarrow{OC}=6\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}$

$\overrightarrow{\ AB}=\overrightarrow{u}$

$\overrightarrow{\ BC}=\overrightarrow{v}$

Ditanya:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=?$

Jawab:

Secara umum penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menempatkan titik awal suatu vektor (misal $\overrightarrow{QR}$ ) ke titik ujung vektor yang lain (misal $\overrightarrow{PQ}$ ), sehingga diperoleh

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Maka, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ dapat dituliskan sebagai berikut.

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$

Dengan substitusi, diperoleh

$\Leftrightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(-\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}\right)+\left(6\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}\right)$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}+6\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}$

Kelompokkan vektor-vektor yang sejenis.

$\Leftrightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}-3\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}+2\overrightarrow{z}$