Bank Soal Matematika SMA Aturan Cosinus

Diketahui:

$\Delta ABC$ dengan $CD$ adalah garis berat yang membagi dua sama panjang sisi $AB$.

Ditanya:

$2CD^2=?$

Jawab:

Ingat aturan cosinus pada segitiga $ABC$, berlaku

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bahwa $\angle ADC+\angle BDC=180^o$ (kedua sudut saling berpelurus),

$\angle BDC=180^o-\angle ADC$

Dengan menggunakan aturan cosinus pada $\Delta ADC$ dan $\Delta BDC$ diperoleh dua persamaan, yaitu

$b^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC$

$b^2=\left(\frac{1}{2}c\right)^2+CD^2-2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle ADC$

$b^2=\frac{1}{4}c^2+CD^2-2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle ADC$ ...(1)

$a^2=BD^2+CD^2-2\cdot BD\cdot CD\cos\angle BDC$

$a^2=\left(\frac{1}{2}c\right)^2+CD^2-2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle\left(180^o-\angle ADC\right)$

$a^2=\frac{1}{4}c^2+CD^2-2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle\left(180^o-\angle ADC\right)$ ...(2)

Perhatikan bahwa $\cos\left(180^o-\angle ADC\right)=-\cos\angle ADC.$ Ini berarti,

$b^2=\frac{1}{4}c^2+CD^2-2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle ADC$

$a^2=\frac{1}{4}c^2+CD^2+2\cdot\frac{1}{2}c\cdot CD\cos\angle ADC$

_______________________________________+

$b^2+a^2=\frac{1}{2}c^2+2CD^2$

$b^2+a^2-\frac{1}{2}c^2=2CD^2$

$2CD^2=b^2+a^2-\frac{1}{2}c^2$

Jadi, $2CD^2=b^2+a^2-\frac{1}{2}c^2.$