Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1$

Ditanya:

Interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Menyelesaikan syarat akar jika ada suku yang memiliki akar baik di pembilang maupun penyebut.
5. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
6. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal ini, pertidaksamaannya adalah

$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1$ ... (1)

Karena bentuknya belum seperti bentuk umum, kita pindahkan ruas terlebih dahulu.

$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}-1<0$

⇔  $\frac{\sqrt{2x-1}-\left(x-2\right)}{x-2}<0$ ... (2)

Di bagian pembilang, ada syarat akar yang perlu diselesaikan.

$2x-1\ge0$ ⇔  $x\ge\frac{1}{2}$ ... (*)

Sekarang, kita memiliki bentuk $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$, dengan $f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}-\left(x-2\right)$ dan $g\left(x\right)=x-2$.

Kita cari pembuat nol untuk fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.

$f\left(x\right)=0$

⇔  $\sqrt{2x-1}-\left(x-2\right)=0$

⇔  $\sqrt{2x-1}=\left(x-2\right)$

Kuadratkan kedua ruas:

⇔  $2x-1=\left(x-2\right)^2$

⇔  $2x-1=x^2-4x+4$

⇔  $0=x^2-6x+5$

⇔  $0=\left(x-5\right)\left(x-1\right)$

$\left(x-5\right)=0$ ⇔  $x=5$ atau

$x-1=0$ ⇔  $x=1$

Selanjutnya, cari pembuat nol untuk $g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)=0$

$x-2=0$ ⇔  $x=2$

Ada tiga titik pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut.

Pembuktian:

Misalkan untuk rentang $x>5$, kita gunakan $x=6$ untuk diuji ke pertidaksamaan (2).

⇔  $\frac{\sqrt{2\cdot6-1}-\left(6-2\right)}{6-2}<0$

⇔  $\frac{\sqrt{12-1}-4}{4}<0$

⇔  $\frac{\sqrt{11}-4}{4}<0$ ... (3)

Karena $\sqrt{11}-4$ negatif, berarti ruas kiri negatif. Rentang ini memang menghasilkan angka negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut, anggaplah solusinya adalah (**). Solusi pertidaksamaan (1) adalah gabungan dari (*) dan (**). Gabungkan dengan garis bilangan solusi (*) akan diperoleh irisannya:

Jadi, solusinya adalah $1<x<2$ atau $x>5$.