Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f(x)=1-2x$, $g(x)=\frac{1-x}{x}$, dan $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(a\right)=(f+g)(-1)$.

Ditanya:

Nilai dari $a=?$

Jawab:

Secara umum, jika fungsi $f$ dan $g$ terdefinisi pada domain $D_f$ dan $D_g$, maka berlaku jumlahan fungsi $f$ dan $g$ yang dinotasikan dengan $f+g$ didefinisikan dengan

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

dengan domain $D_{f+g}=D_f\cap D_g$.

Berdasarkan definisi jumlahan dua fungsi diperoleh

$\left(f+g\right)\left(-1\right)=f\left(-1\right)+g\left(-1\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ dan $g$ diperoleh

$\left(f+g\right)\left(-1\right)=\left(1-2\left(-1\right)\right)+\left(\frac{1-\left(-1\right)}{\left(-1\right)}\right)$

$\Leftrightarrow\left(f+g\right)\left(-1\right)=\left(1+2\right)+\left(\frac{1+1}{-1}\right)$

$\Leftrightarrow\left(f+g\right)\left(-1\right)=\left(3\right)+\frac{2}{-1}$

$\Leftrightarrow\left(f+g\right)\left(-1\right)=3-2$

$\Leftrightarrow\left(f+g\right)\left(-1\right)=1$

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Diketahui $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(a\right)=1$. Berdasarkan definisi invers fungsi, diperoleh $\left(f\circ g\right)\left(1\right)=a$.

Perlu diingat pula definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi, diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(1\right)=f\left(g\left(1\right)\right)$

$\Leftrightarrow a=f\left(g\left(1\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$a=f\left(\frac{1-1}{1}\right)$

$\Leftrightarrow a=f\left(\frac{0}{1}\right)$

$\Leftrightarrow a=f\left(0\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$a=1-2.0$

$\Leftrightarrow a=1-0$

$\Leftrightarrow a=1$