Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan$$ $\frac{x}{x^2+x}\ge-\frac{x}{x-x^2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x}{x^2+x}\ge-\frac{x}{x-x^2}$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x}{x^2+x}\ge\frac{x}{x^2-x}$

⇔ $\frac{x}{x^2+x}-\frac{x}{x^2-x}\ge0$

⇔ $\frac{x\left(x^2-x\right)-x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+x\right)\left(x^2-x\right)}\ge0$

⇔ $\frac{x^3-x^2-\left(x^3+x^2\right)}{\left(x^2+x\right)\left(x^2-x\right)}\ge0$

⇔ $\frac{-2x^2}{\left(x^2+x\right)\left(x^2-x\right)}\ge0$

⇔ $\frac{2x^2}{\left(x^2+x\right)\left(x^2-x\right)}\le0$

⇔ $\frac{2x^2}{x\left(x+1\right)x\left(x-1\right)}\le0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), diketahui $f\left(x\right)=2x^2$ dan $g\left(x\right)=x\left(x+1\right)x\left(x-1\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

$2x^2=0$ ⇔ $x=0$ (ada dua titik berulang)

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x\left(x+1\right)x\left(x-1\right)=0$

⇔ $x=0$ (ada dua titik berulang) atau $x=-1$ atau $x=1$.

Totalnya, ada tiga nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga nilai pembuat nol tersebut. Nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (2). Perhatikan bahwa nilai $x=0$ tidak diberi bulatan penuh karena penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $0<x<1$, kita misalkan $x=\frac{1}{2}$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)}\le0$

⇔ $\frac{2\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}\le0$

⇔ $\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{8}}\le0$

⇔ $-\frac{4}{3}\le0$ ... (3)

Ruas kiri bernilai negatif. Dengan demikian, rentang nilai tersebut memang menghasikan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $-1<x<0$ atau $0<x<1$.