Bank Soal Matematika SMA Distribusi Peluang Binomial

Diketahui:

Banyak dadu $=1$ buah

Banyak pelemparan yang dilakukan $=6$ kali

Ditanya:

Peluang muncul angka lebih besar atau sama dengan $4$ dalam minimal $4$ kali pelemparan $=?$

Jawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil seperti ya-tidak, sukses-gagal.

Di sini 6 kali pelemparan dadu adalah percobaan dengan 6 pengulangan sedangkan munculnya angka lebih besar atau sama dengan 4 dan bukan angka lebih besar atau sama dengan 4 adalah dua kemungkinan hasil.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)p^x\ .\ q^{n-x}$

dengan $x=0,1,2,...,n$ dan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ .\ x!}$

dimana $x$ adalah banyaknya sukses, $n$ adalah banyaknya percobaan, $p$ adalah probabilitas kesuksesan, dan $q=1-p$ adalah probabilitas kegagalan.

Diketahui bahwa banyak dadu adalah $1$ buah sehingga peluang munculnya masing-masing mata dadu adalah $\frac{1}{6}$.

Diketahui pula bahwa pelemparan dilakukan sebanyak $6$ kali maka $n=6$

Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya angka lebih besar atau sama dengan $4$ maka

$A=\left\{4,5,6\right\}$

$p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$q=1-\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}$

Ditanyakan, peluang minimal $4$ dari $6$ kali pelemparan yang dilakukan sehingga muncul angka lebih besar atau sama dengan $4$ berarti $P\left(X\ge4\right)$

$P\left(X\ge4\right)=P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)$

Untuk $P\left(X=4\right)$

$P\left(X=4\right)=\left(_4^6\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^{6-4}$

$=\left(\frac{6!}{\left(6-4\right)!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2$

$=\left(\frac{6!}{2!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2$

$=\frac{15}{64}$

Untuk $P\left(X=5\right)$

$P\left(X=5\right)=\left(_5^6\right)\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}$

$=\left(\frac{6!}{\left(6-5\right)!\ .\ 5!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^1$

$=\left(\frac{6!}{1!\ .\ 5!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^1$

$=\frac{6}{64}$

Untuk $P\left(X=6\right)$

$P\left(X=6\right)=\left(_6^6\right)\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^{6-6}$

$=\left(\frac{6!}{\left(6-6\right)!\ .\ 6!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^0$

$=\left(\frac{6!}{0!\ .\ 6!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^0$

$=\frac{1}{64}$

$P\left(X\ge4\right)=\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}$

$=\frac{22}{64}$

Jadi, peluang muncul angka lebih besar atau sama dengan $4$ dalam minimal $4$ kali pelemparan adalah $\frac{22}{64}$.