Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian $=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Sederhanakan persamaan 1

$4\sin^2x-5\sin x-2=2\cos^2x$

$4\sin^2x-5\sin x-2\cos^2x-2=0$

Karena $\cos^2x=1-\sin^2x$ maka

$4\sin^2x-5\sin x-2\left(1-\sin^2x\right)-2=0$

$4\sin^2x-5\sin x-2\ +2\sin^2x-2=0$

$6\sin^2x-5\sin x=2+2$

$6\sin^2x-5\sin x=4\ .....\left(1\right)$

Sederhanakan persamaan 2

$\cos2x+\sin x=0$

Karena $\cos2x=1-2\sin^2x$ maka

$1-2\sin^2x+\sin x=0$

$-2\sin^2x+\sin x=-1$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$

$2\sin^2x-\sin x=1....\left(2\right)$

Eliminasikan kedua persamaan

Mencari himpunan penyelesaian

$\sin x=-\frac{1}{2}$

$\sin x=\sin210\degree$

$\sin x=\sin\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$x=210\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=210\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=210\degree+0\degree$

$x=210\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=210\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=570\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$x=\left(180-210\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=-30\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=-30\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=-30\degree+0\degree$

$x=-30\degree$(tidak memenuhi)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=-30\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=-30\degree+360\degree$

$x=330\degree$

untuk $k=2$ diperoleh

$x=-30\degree+\left(360\ .\ 2\right)\degree$

$x=-30\degree+720\degree$

$x=690\degree$ (tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{210\degree,330\degree\right\}$