Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22x+1>1\sqrt{x^2-2x+1}>1 adalah ....

A

xx\in R x<0\mid x<0 atau x>2x>2 }

B

xx\in R x<0\mid x<0 atau x2x\ge2 }

C

xx\in R 0<x<2\mid 0<x<2 }

D

xx\in R x0\mid x\le 0 atau x>2x>2 }

E

xx\in R 0x2\mid0\le x\le2 }

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x22x+1>1\sqrt{x^2-2x+1}>1

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\ maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

  1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

x22x+1>1\sqrt{x^2-2x+1}>1 . . . (1)

artinya f(x)=x22x+1f\left(x\right)=x^2-2x+1 dan g(x)=1g\left(x\right)=1

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

f(x)0f(x)\ge0

x22x+10\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0 . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari harga nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x22x+1=0x^2-2x+1=0

Nilai p, qp,\ q sehingga p+q=2p+q=-2 dan pq=1pq=1 adalah p=1p=-1 dan q=1q=-1 . Didapat

x22x+1=0x^2-2x+1=0

(x+p)(x+q)=0\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0

(x1)(x1)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0

(x1)2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0 . . . (3)

Jika persamaan (3) disubstitusikan pada pertidaksamaan (2) diperoleh

(x1)20\left(x-1\right)^2\ge0

Karena untuk semua bilangan real xx berakibat (x1)20\left(x-1\right)^2\ge0, maka syarat akarnya yaitu xx\in R (*).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

(x22x+1)2>12\left(\sqrt{x^2-2x+1}\right)^2>1^2

x22x+1>1\Leftrightarrow x^2-2x+1>1

x22x+11>0\Leftrightarrow x^2-2x+1-1>0

x22x>0\Leftrightarrow x^2-2x>0 . . . (4)

Pertidaksamaan (4) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan a, b,a,\ b, dan cc berlaku (a+b).c=a.c+b.c\left(a+b\right).c=a.c+b.c

Akan dicari harga nol pertidaksamaan (4), diperoleh

x22x=0x^2-2x=0

Berdasarkan sifat distributif, diperoleh

x(x2)=0x\left(x-2\right)=0

Artinya,

x=0x=0 atau

x2=0x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2

Karena pembuat nol pertidaksamaan (4) adalah 00 dan 22 dengan 0<20<2 dan tanda pertidaksamaannya adalah lebih dari (>>), maka penyelesaian pertidaksamaan (4) adalah x<0x<0 atau x>2x>2 (**).

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Karena kondisi (*) menyatakan semua bilangan real xx, maka solusi pertidaksamaan (1) cukup melihat pada kondisi (**). Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah xx\in R x<0\mid x<0 atau x>2x>2 }

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib LOTS Teknik Hitung
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal