Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Grafik fungsi $h(x)=\frac{x^2-2x-35}{x-4}$ terletak di atas sumbu $X$

Ditanya:

Batasan nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui fungsi $h$ terletak di atas sumbu $X$ atau garis $y=0$. Artinya $h\left(x\right)>0$. Diperoleh

$h\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-2x-35}{x-4}>0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear-kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{ax^2+bx+x}{px+q}\le n$ atau $\frac{px+q}{ax^2+bx+x}\le n$

dengan $a,\ b,\ c,\ p,\ q,$ dan $n$ merupakan konstanta. Tanda pertidaksamaan $\le$ dapat juga berbentuk $<,\ \ge,$ atau $>$

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2-2x-35}{x-4}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2-2x-35=0$  . . . (**)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-2$ dan $pq=-35$ adalah $p=-7$ dan $q=5$

Akibatnya persamaan (**) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(x+5\right)=0$

Artinya

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ atau

$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$

Untuk penyebut diperoleh

$x-4=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Karena $x=4$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=4$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol yang diperoleh, pertidaksamaan (*) dapat ditulis menjadi

$\frac{\left(x-7\right)\left(x+5\right)}{x-4}>0$  . . . (***)

Diperhatikan tabel yang menunjukkan tanda nilai yang diperoleh pada batasan/interval yang ada.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (***) memiliki tanda $>$ artinya yang diminta adalah hasil dengan tanda positif dan $x=7,\ x=-5$ bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperoleh

Jadi batasan nilai $x$ yang memenuhi adalah $-5<x<4$ atau $x>7$