Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f$ dan $g$ seperti pada grafik berikut.

Ditanya:

Nilai dari $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(3\right)$?

Jawab:

Secara umum, persamaan fungsi linear yang melewati titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ dan $\left(x_2,\ y_2\right)$ adalah

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ dengan 

Berdasarkan gambar, fungsi $f$ melalui titik $\left(-2,0\right)$ dan $\left(0,1\right)$ sehingga $x_1=-2,\ y_1=0,\ x_2=0,\ y_2=1$. Diperoleh

$\frac{y-0}{1-0}=\frac{x-\left(-2\right)}{0-\left(-2\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{y}{1}=\frac{x+2}{2}$

$\Leftrightarrow2y=x+2$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\left(x+2\right)$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+1$

Artinya $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1$

Sedangkan fungsi $g$ melalui titik $\left(0,-1\right)$ dan $\left(\frac{1}{2},0\right)$, sehingga $x_1=0,\ y_1=-1,\ x_2=\frac{1}{2},\ y_2=0$. Diperoleh

$\frac{y-\left(-1\right)}{0-\left(-1\right)}=\frac{x-0}{\frac{1}{2}-0}$

$\Leftrightarrow\frac{y+1}{1}=\frac{x}{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow y+1=2x$

$\Leftrightarrow y=2x-1$

Artinya $g\left(x\right)=2x-1$

Perlu diingat pula definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi, diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\frac{1}{2}x+1\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2\left(\frac{1}{2}x+1\right)-1$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=x+2-1$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=x+1$

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Dimisalkan $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(3\right)=k$. Berdasarkan definisi invers fungsi, diperoleh $\left(g\circ f\right)\left(k\right)=3$. Diperoleh

$\left(g\circ f\right)\left(k\right)=3$

$\Leftrightarrow k+1=3$

$\Leftrightarrow k=3-1$

$\Leftrightarrow k=2$

$\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)^{-1}\left(3\right)=2$