Bank Soal Matematika SMA Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diberikan $P\left(n\right)\ :\ n^2>2n-1$ dan pernyataan-pernyataan berikut ini:

$P\left(n\right)$ benar untuk setiap $n\ge1$
$P\left(n\right)$ benar untuk setiap $n$ bilangan bulat
$P\left(n\right)$ benar untuk setiap $n\ge2$
$P\left(n\right)$ benar untuk setiap $n$ bilangan real

Pernyataan yang benar adalah ....

A

pernyataan nomor 1

B

pernyataan nomor 2

C

pernyataan nomor 3

D

pernyataan nomor 4

E

tidak ada pernyataan yang benar

Pembahasan:

Diberikan $P\left(n\right)\ :\ n^2>2n-1$ .

Untuk $n=1$ diperoleh $P\left(1\right)$ yaitu

$n^2=1^2=1\ngtr 1 = 2.1-1=2n-1$

Artinya $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=1$ .

Selanjutnya, untuk setiap $n\ge2$ akan dibuktikan kebenaran dari $P\left(n\right)$ dengan menggunakan induksi matematika.

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Sebelum dilakukan pembuktian, perlu diingat sifat operasi aljabar berikut:

sifat transitif

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $a>b>c\Leftrightarrow a>c$

Langkah-langkah pembuktian tersebut adalah

Basis induksi:

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=2$

Diperhatikan bahwa

$2^2=4>3=2.2-1$

Artinya, terbukti bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=2$

Langkah induksi:

Diandaikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , yaitu

$k^2>2k-1$ .

Akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ , yaitu akan dibuktikan benar bahwa

$\left(k+1\right)^2>2(k+1)-1$

Diperhatikan bahwa

$(k+1)^2=k^2+2k+1$

telah diandaikan bahwa $k^2>2k-1$ , sehingga

$(k+1)^2=k^2+2k+1>(2k-1)+2k+1$

diperoleh

$(k+1)^2>(2k-1)+2k+1$

nilai $k$ berupa bilangan asli ( $k\ge1$ ) sehingga

$2k-1\ge2.1-1=1>0$ atau $2k-1$ bernilai positif.

Perlu diingat bahwa suatu bilangan jika ditambah dengan bilangan positif maka nilainya akan semakin besar. Oleh karena itu $\left(2k-1\right)+2k+1>2k+1$ , sehingga