Bank Soal Matematika SMA Fungi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner

Diketahui: $y=-x^3-9x^2+21x-5$

Ditanya: Interval ketika grafik fungsi tidak pernah turun

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Fungsi dikatakan tidak pernah turun (naik) pada interval $(m,n)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)>0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'(x)=-\left(1\times3\right)x^{3-1}-\left(9\times2\right)x^{2-1}+(21\times1)x^{1-1}-0$

$h'\left(x\right)=-3x^2-18x+21$

$h'\left(x\right)=0$

$-3x^2-18x+21=0$

$x^2+6x-7=0$

$\left(x+7\right)\left(x-1\right)=0\ \Rightarrow\ x=-7\ \text{atau}\ x=1$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-7$ dan $x=1$ .

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-7$ dan $x=1$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-7$

Ambil nilai $x=-10$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-10\right)=-3\left(-10\right)^2-18\left(-10\right)+7$

$=-3(100)+180+7$

$=-300+180+7$

$=-113$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $-7<x<1$

Ambil nilai $x=0$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(0\right)=-3\left(0\right)^2-18\left(0\right)+7=7$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan tidak pernah turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $x>1$

Ambil nilai $x=2$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(2\right)=-3\left(2\right)^2-18\left(2\right)+7$

$=-12-36+7$

$=-41$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu turun pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

Jadi, fungsi tersebut tidak pernah turun pada interval $-7<x<1$.