Bank Soal Matematika SMA Fungi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner

Diketahui: $y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+3$

Ditanya: Interval ketika grafik suatu fungsi tidak pernah naik

Dijawab:

Jika $y=h\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=h'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Fungsi dikatakan tidak pernah naik pada interval $(a,b)$ jika memenuhi syarat $h'\left(x\right)<0$. Sebelumnya, kita tentukan terlebih dahulu nilai $h'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan titik stasioner $x$.

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y'=h'\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}\times3\right)x^{3-1}+\left(\frac{1}{2}\times2\right)x^{2-1}-\left(6\times1\right)x^{1-1}+0$

$h'\left(x\right)=x^2+x-6$

$h'\left(x\right)=0$

$x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0\ \Rightarrow\ x=-3$ atau $x=2$

Jadi, fungsi $h$ stasioner di titik $x=-3$ dan $x=2$.

Nilai $h'\left(x\right)$ di sekitar $x=-3$ dan $x=2$ disajikan pada gambar di bawah ini.

• Untuk $x<-3$

Ambil nilai $x=-4$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(-4\right)=\left(-4\right)^2+\left(-4\right)-6$

$=16-4-6$

$=6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

• Untuk $-3<x<2$

Ambil nilai $x=0$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(0\right)=\left(0\right)^2+\left(0\right)-6=-6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan tidak pernah naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)<0$.

• Untuk $x>2$

Ambil nilai $x=3$ dan substitusikan ke persamaan $h'\left(x\right)$.

$h'\left(3\right)=\left(3\right)^2+\left(3\right)-6$

$=9+3-6$

$=6$

Jadi, kurva $y=h\left(x\right)$ dikatakan selalu naik pada interval tersebut karena nilai $h'\left(x\right)>0$.

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik pada interval $-3<x<2$.