Bank Soal Matematika SMA Rotasi

Diketahui:

Garis dengan gambar sebagai berikut

Garis tersebut dirotasi pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $-180\degree$

Ditanya:

Persamaan bayangan yang terbentuk?

Jawab:

Secara umum persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ dan $\left(x_2,\ y_2\right)$ adalah

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Perhatikan gambar garis berikut!

Garis tersebut melalui titik $\left(x_1,\ y_1\right)=\left(3,0\right)$ dan titik $\left(x_2,\ y_2\right)=\left(0,-4\right)$.

Artinya $x_1=3,\ y_1=0,\ x_2=0,$ dan $y_2=-4$

sehingga diperoleh persamaan garis tersebut adalah

$\frac{y-0}{-4-0}=\frac{x-3}{0-3}$

$\frac{y}{-4}=\frac{x-3}{-3}$

$\left(-3\right)y=-4\left(x-3\right)$

$-3y=-4x+12$

$4x-3y-12=0$

Selanjutnya, secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

.

Dimisalkan titik $\left(x,y\right)$ berada pada garis $4x-3y-12=0$ dan titik $\left(x',y'\right)$ merupakan bayangan titik $\left(x,y\right)$ oleh rotasi pada pusat $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $-180\degree$.

Artinya $\theta=-180\degree$, sehingga didapat

Artinya

$x'=-x\ \Rightarrow\ x=-x'$ dan

$y'=-y\ \Rightarrow\ y=-y'$

Substitusikan $x=-x'$ dan $y=-y'$ ke dalam $4x-3y-12=0$ diperoleh

$4x-3y-12=0$

$4(-x')-3(-y')-12=0$

$-4x'+3y'-12=0$

Jadi bayangan garis $4x-3y-12=0$ oleh rotasi pada pusat rotasi $O\left(0,0\right)$ dengan sudut rotasi $-180\degree$ adalah

$-4x+3y-12=0$