Bank Soal Matematika SMA Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Kurva

$$Diketahui: $y=(2x+3)^5$

Ditanya: Persamaan garis normal kurva di titik $\left(-1,1\right)$

Dijawab:

Diketahui fungsi komposisi $y=H(x)=\left(f\left(x\right)\right)^n$, dimana fungsi $H$ dapat didiferensialkan di titik $x=c$. Turunan pertama fungsi $H$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y'=H'\left(x\right)=n\left(f\left(x\right)\right)^{n-1}f'\left(x\right)$

Adapun hubungan antara gradien garis normal dan turunan fungsi adalah sebagai berikut.

$m_{norm}=-\frac{1}{H'(x)}$

Misalkan $f\left(x\right)=2x+3$. Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=2$

$$

$y'=H'(x)=5\left(2x+3\right)^{5-1}\left(2\right)=10\left(2x+3\right)^4$

$m_{norm}=-\frac{1}{10\left(2x+3\right)^4}$

$$

Gradien garis normal kurva di titik $\left(-1,1\right)$ dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai $x=-1$ ke persamaan $m_{norm}$, sehingga diperoleh:

$m_{norm}=-\frac{1}{10\left(2\left(-1\right)+3\right)^4}=-\frac{1}{10(-2+3)^4}=-\frac{1}{10}$

Persamaan garis normal kurva dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y-y_1=m_{norm}\left(x-x_1\right)$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y-1=\left(-\frac{1}{10}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$

$-10y+10=x+1$ (Kalikan kedua ruas dengan $\left(-10\right)$)

$x+10y=9$

$$

Jadi, persamaan garis normal kurva $y$ di titik $\left(-1,1\right)$ adalah $x+10y=9$.