Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Sebuah persegi panjang memiliki keliling sebesar $14$ cm. Panjang diagonal maksimum bangun tersebut adalah ....

A

$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ cm

B

$\frac{3}{2}\sqrt{2}$ cm

C

$\frac{5}{2}\sqrt{2}$ cm

D

$\frac{7}{2}\sqrt{2}$ cm

E

$\frac{9}{2}\sqrt{2}$ cm

Pembahasan:

Diketahui: $K=56$ cm

Ditanya: Panjang diagonal maksimum dari persegi panjang

Dijawab:

Misalkan panjang, lebar, dan diagonal sisi bangun tersebut adalah $p$ , $l$ , dan $d$ . Hubungan variabel tersebut dengan persegi panjang adalah sebagai berikut.

$K:$ Keliling

$K=2\left(p+l\right)$

$d=\sqrt{p^2+l^2}$

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

$K=2\left(p+l\right)=14$

$p+l=7\ \Rightarrow\ l=7-p$

$d=\sqrt{p^2+\left(7-p\right)^2}=\sqrt{2p^2-14p+49}=\left(2p^2-14p+49\right)^{\frac{1}{2}}$

Nilai maksimal dari luas persegi panjang dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama sebagai berikut.

$d'=0$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$d'=\frac{1}{2}\left(2p^2-14p+49\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(4p-14\right)=0$

$\frac{4p-14}{2}\left(2p^2-14p+49\right)^{-\frac{1}{2}}=0$

$\frac{2p-7}{\sqrt{2p^2-14p+49}}=0$

Apabila terdapat fungsi rasional, maka hal yang menyebabkan fungsi tersebut bernilai nol adalah pembilang dari fungsi tersebut. Hal tersebut berakibat:

$2p-7=0\ \Rightarrow p=\frac{7}{2}$ cm