Bank Soal Matematika Wajib SMA Aplikasi Turunan Fungsi

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah $180$ cm². Diketahui bahwa $p$ , $l$ , dan $t$ berturut-turut menyatakan panjang, lebar, dan tinggi balok. Nilai dari $p^2+l^2+t^2$ agar volumenya maksimum adalah ....

A

$30$

B

$60$

C

$90$

D

$120$

E

$150$

Pembahasan:

Diketahui: $L_{permukaan}=180$ cm²

Ditanya: Nilai dari $p^2+l^2+t^2$

Dijawab:

Diketahui $p$ , $l$ , dan $t$ berturut-turut menyatakan panjang, lebar, dan tinggi balok. Hubungan variabel tersebut dengan balok adalah sebagai berikut.

$L_{permukaan}=2\left(p\times l+p\times t+l\times t\right)$

$V=p\times l\times t$

Balok tersebut memiliki alas berbentuk persegi, sehingga $p=l$ . Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$L_{permukaan}=2\left(p\times p+p\times t+p\times t\right)$

$2\left(p^2+2pt\right)=180\$

$p^2+2pt=90\ \Rightarrow\ t=\frac{90-p^2}{2p}=\frac{45}{p}-\frac{p}{2}$

$V=p\times p\times t$

$V=p^2\left(\frac{45}{p}-\frac{p}{2}\right)=45p-\frac{p^3}{2}$

Nilai maksimum dari volume balok dapat diperoleh dengan menggunakan metode berikut.

$V'=0$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$V'=45-\frac{3}{2}p^2=0$

$\frac{3}{2}p^2=45\ \Rightarrow\ p=-\sqrt{30}$ atau $p=\sqrt{30}$

Panjang, lebar, dan tinggi dari balok selalu bernilai positif $\left(p,l,t>0\right)$ . Maka dari itu, nilai $p$ yang memenuhi syarat tersebut adalah $p=\sqrt{30}$ cm.