Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi

Diketahui: $L_{permukaan}=180$ cm²

Ditanya: Nilai dari $p^2+l^2+t^2$

Dijawab:

Diketahui $p$, $l$, dan $t$ berturut-turut menyatakan panjang, lebar, dan tinggi balok. Hubungan variabel tersebut dengan balok adalah sebagai berikut.

$L_{permukaan}=2\left(p\times l+p\times t+l\times t\right)$

$V=p\times l\times t$

Balok tersebut memiliki alas berbentuk persegi, sehingga $p=l$. Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$L_{permukaan}=2\left(p\times p+p\times t+p\times t\right)$

$2\left(p^2+2pt\right)=180\$

$p^2+2pt=90\ \Rightarrow\ t=\frac{90-p^2}{2p}=\frac{45}{p}-\frac{p}{2}$

$V=p\times p\times t$

$V=p^2\left(\frac{45}{p}-\frac{p}{2}\right)=45p-\frac{p^3}{2}$

Nilai maksimum dari volume balok dapat diperoleh dengan menggunakan metode berikut.

$V'=0$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$V'=45-\frac{3}{2}p^2=0$

$\frac{3}{2}p^2=45\ \Rightarrow\ p=-\sqrt{30}$ atau $p=\sqrt{30}$

Panjang, lebar, dan tinggi dari balok selalu bernilai positif $\left(p,l,t>0\right)$. Maka dari itu, nilai $p$ yang memenuhi syarat tersebut adalah $p=\sqrt{30}$ cm.

Alas dari balok tersebut berbentuk persegi, sehingga $p=l=\sqrt{30}$ cm. Substitusikan nilai tersebut ke persamaan $t$, diperoleh:

$t=\frac{45}{\sqrt{30}}-\frac{\sqrt{30}}{2}=\frac{90-30}{2\sqrt{30}}=\frac{30}{\sqrt{30}}=\sqrt{30}$ cm

Substitusikan nilai $p$, $l$, dan $t$ ke $p^2+l^2+t^2$, diperoleh:

$p^2+l^2+t^2=\left(\sqrt{30}\right)^2+\left(\sqrt{30}\right)^2+\left(\sqrt{30}\right)^2=90$

Jadi, nilai dari $p^2+l^2+t^2$ adalah $90$.