Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran

Diketahui:

Persamaan garis : $x-3y=4$ maka $y=\frac{x-4}{3}$

Persamaan lingkaran: $(x−5)^2+(y−3)^2=5$

Ditanya:

Bagaimana kedudukan garis terhadap lingkaran?

Dijawab:

Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan, di antaranya:

-Garis memotong lingkaran di 2 titik

-Garis menyinggung lingkaran

-Garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran, kita harus mensubtitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Selanjutnya cari nilai diskriminannya.

Perlu diingat bahwa:

$D>0$ , berarti garis memotong lingkaran di 2 titik

$D=0$ , berarti garis menyinggung lingkaran

$D<0$ , berarti garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

=============================================

Langkah 1(subtitusi persamaan)

$(x−5)^2+(y−3)^2=5$

$$$(x−5)^2+\left(\frac{\left(x-4\right)}{3}−3\right)^2=5$

$(x−5)^2+\left(\frac{\left(x-4\right)}{3}-\ \frac{9}{3}\right)^2=5$

$(x−5)^2+\left(\frac{x-13}{3}\right)^2=5$

$x^2-10x+25+\frac{x^2-26x+169}{9}-5=0$

Kalikan kedua ruas dengan 9

$9x^2-90x+225+x^2-26x+169-45=0$

$10x^2-116x+349=0$

Langkah 2(menentukan nilai diskriminan)

$D=b^2-4ac$

Diketahui $10x^2-116x+349=0$ dengan $a=10,b=-116,c=349$

$$$D=$ $\left(-116\right)^2-4\times10\times349$

$D=13.456-4\times10\times349$

$D=13.456-13.960$

$D=-504$

Didapat nilai $D=-504<0$, sehingga dapat disimpulkan bahwa garis tersebut tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.