Bank Soal Matematika SMA Persamaan Lingkaran

Diketahui:

Titik pada lingkaran: $\left(3,-2\right)$ dan$\left(-1,-2\right)$

Jarak kedua titik tersebut adalah yang paling jauh yang dapat terbentuk pada lingkaran tersebut.

Ditanya:

Apakah persamaan lingkaran tersebut?

Dijawab:

Karena hasil jarak kedua titik tersebut adalah yang terjauh, maka jarak kedua titik adalah diameter lingkarannya.

Kita hitung dahulu jarak titiknya:

Diameter: $\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(-2-\left(-2\right)\right)^2}$

Diameter: $\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(0\right)^2}$

Diameter: $\sqrt{16^{ }+0}$

Diameter: $\sqrt{16^{ }}$

Diameter: $4$ (tidak mengambil $-4$ karena ukuran panjang tidak boleh $0$)

Karena diameter dari lingkaran tersebut adalah $4$, maka jari-jarinya adalah $2$.

=============================================

Karena jarak yang dihasilkan adalah diameter, maka titik tengah dari kedua titik tersebut adalah titik pusat lingkaran.

Titik pusat: $\left(x_1,y_1\right)$

Titik 1: $\left(3,-2\right)$

Titik 2: $\left(-1,-2\right)$

$x_1=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$

$y_1=\frac{-2-2}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Sehingga didapat bahwa titik pusatnya adalah $\left(1,-2\right)$.

=============================================

Kita sudah mendapatkan jari-jari dan titik pusatnya, selanjutnya dapat dimasukkan ke dalam rumus persamaan lingkaran di titik $\left(a,b\right)$.

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

$\left(x-1\right)^2+\left(y-\left(-2\right)\right)^2=2^2$

$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=2^2$

$x^2-2x+1+y^2+4y+4=4$

$x^2-2x+y^2+4y+4+1-4=0$

$x^2-2x+y^2+4y+1=0$

Dari perhitungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkarannya adalah $$$x^2-2x+y^2+4y+1=0$ .