Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Nilai Mutlak

Jika $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ maka dapat dikali silang menjadi $ad=bc$.

$\left|\frac{2-x}{4+2x}\right|\le2$ dapat kita uraikan menjadi:

$\left|\frac{2-x}{4+2x}\right|\le\frac{2}{1}$

$\left|2-x\right|\ .\ 1\le2\ .\ \left|4+2x\right|$

Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dengan bentuk $\left|f\left(x\right)\right|>\left|g\left(x\right)\right|$ diubah ke bentuk $\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0$. Solusi ini berlaku untuk semua tanda pertidaksamaan.

$\left|2-x\right|\ .\ 1\le2\ .\ \left|4+2x\right|$

$\left[2-x\ +2\ \left(4+2x\right)\right]\left[2-x-2\left(4+2x\right)\right]\le0$

$\left(2-x\ +8+4x\right)\left(2-x-8-4x\right)\le0$

$\left(3x\ +10\right)\left(-5x-6\right)\le0$

Selanjutnya kita uraikan menjadi:

$\left(3x\ +10\right)\le0$ atau $\left(-5x-6\right)\le0$

$3x\ \le-10$ atau

$-5x\le6$, dikali dengan -1, sehingga tanda berubah menjadi lawannya.

$x\ \le-\frac{10}{3}$ atau $5x\ge-6$

$x\le-\frac{10}{3}$ atau $x\ge-\frac{6}{5}$

Pembuktian:

1) Untuk $x=-\frac{10}{3}$

$\left|\frac{2-x}{4+2x}\ \right|\le2$

$\left|\frac{2-\left(-\frac{10}{3}\right)}{4+2\left(-\frac{10}{3}\right)}\ \right|\le2$

$\left|\frac{\frac{6}{3}+\frac{10}{3}}{\frac{12}{3}-\frac{20}{3}}\ \right|\le2$

$\left|\frac{\frac{16}{3}}{-\frac{8}{3}}\ \right|\le2$

$\left|\frac{16}{3}\times-\frac{3}{8}\ \right|\le2$

$\left|-\frac{16}{8}\ \right|\le2$

$\left|-2\right|\le2$

$-\left(-2\right)\le2$

$2\le2$ (benar)

2) Untuk $x=-\frac{6}{5}$

$\left|\frac{2-x}{4+2x}\right|\le2$

$\left|\frac{2-\left(-\frac{6}{5}\right)}{4+2\left(-\frac{6}{5}\right)}\right|\le2$

$\left|\frac{\frac{10}{5}+\frac{6}{5}}{\frac{20}{5}-\frac{12}{5}}\right|\le2$

$\left|\frac{\frac{16}{5}}{\frac{8}{5}}\right|\le2$

$\left|\frac{16}{5}\times\frac{5}{8}\right|\le2$

$\left|\frac{16}{8}\right|\le2$

$\left|2\right|\le2$

$2\le2$ (benar)

Dari pembuktian di atas, nilai $x\$yang memenuhi sudah sesuai.

Jadi, HP $=\left\{x\mid x\le-\frac{10}{3}\ atau\ x\ge-\frac{6}{5}\right\}$