Bank Soal Matematika SMA Aljabar Vektor

Diketahui:

$A\left(4,\ 2,\ -3\right)$

$B\left(5,\ 4,\ -5\right)$

$C\left(5,\ 2,\ -4\right)$

Ditanya:

Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$: $\angle\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=?$

Jawab:

Cosinus sudut antara dua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}$

$\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$ dapat ditemukan dengan cara berikut.

$\overrightarrow{AB}=B-A$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(5,\ 4,\ -5\right)-\left(4,\ 2,\ -3\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(5-4\right),\ \left(4-2\right),\ \left(-5-\left(-3\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(1,\ 2,\ -2\right)$

$\overrightarrow{AC}=C-A$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AC}=\left(5,\ 2,\ -4\right)-\left(4,\ 2,\ -3\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AC}=\left(\left(5-4\right),\ \left(2-2\right),\ \left(-4-\left(-3\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AC}=\left(1,\ 0,\ -1\right)$

Selanjutnya, menemukan panjang $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$

Jika $\overrightarrow{r}=\left(x,\ y\right)$, maka panjang vektor $\overrightarrow{r}$ adalah $\left|\overrightarrow{r}\right|$, yaitu jarak titik $O$ ke titik yang berkoordinat $\left(x,\ y\right)$, sehingga

$\left|\overrightarrow{r}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Maka,

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2\right)^2+\left(-2\right)^2}$

$\Leftrightarrow\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{1+4+4}$

$\Leftrightarrow\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9}$

$\Leftrightarrow\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=3$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(0\right)^2+\left(-1\right)^2}$

$\Leftrightarrow\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{1+0+1}$

$\Leftrightarrow\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$

Dengan demikian, kita dapat menemukan nilai cosinus sudut antara dua vektor.

$\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{\ \left(1,\ 2,\ -2\right)\cdot\left(1,\ 0,\ -1\right)}{3\cdot\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{\ \left(1\right)\left(1\right)+\left(2\right)\left(0\right)+\left(-2\right)\left(-1\right)}{3\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1+0+2}{3\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{\ 3}{3\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Rasionalkan

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Dari $\cos\ \angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ , sehingga diperoleh $\angle\left(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}\right)=45\degree$ , karena sudut yang memiliki nilai cosinus $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ adalah sudut $45\degree.$

Jadi, sudut antara $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$ adalah $45\degree$